Questão 1. Para cada item, calcule 4 passos do método da bisseção no intervalo dado para aproximar a solução da equação.
(e) e^{x}+x-2=0,[0,1]
n a_{n} x_{n} b_{n} f\left(a_{n}\right) f\left(x_{n}\right) f\left(b_{n}\right)
1
2
3
4 / / / / / / / / / / / /

Passo 1

O enunciado pede: aplicar 4 passos do método da bisseção para aproximar a solução da equação e^{x}+x-2=0 no intervalo inicial [0,1].
Informações fornecidas e que vou usar (peguei do enunciado):
  • A função a ser zerada é f(x)=e^{x}+x-2.
  • Intervalo inicial: a_{1}=0 e b_{1}=1.
  • Fazer exatamente 4 iterações (ou seja, calcular a_{n},x_{n},b_{n},f(a_{n}),f(x_{n}),f(b_{n}) para n=1,2,3,4).

Passo 2

Rápida explicação do método (passo-a-passo, como ensinar na prova).
  • Em cada iteração n calcula-se o ponto médio
x_{n}=\frac{a_{n}+b_{n}}{2},
onde a_{n} e b_{n} são as extremidades do intervalo atual. Aqui x_{n} é o candidato a raiz.
  • Avalia-se f(a_{n}), f(x_{n}) e f(b_{n}). As variáveis significam:
    • a_{n}: limite esquerdo do intervalo na iteração n.
    • b_{n}: limite direito do intervalo na iteração n.
    • x_{n}: ponto médio (a_{n}+b_{n})/2.
    • f(\cdot): função dada, aqui f(x)=e^{x}+x-2.
  • Regra para escolher o próximo intervalo:
    • Se f(a_{n})\cdot f(x_{n})<0 então a raiz está em [a_{n},x_{n}] e definimos a_{n+1}=a_{n}, b_{n+1}=x_{n}.
    • Se f(x_{n})\cdot f(b_{n})<0 então a raiz está em [x_{n},b_{n}] e definimos a_{n+1}=x_{n}, b_{n+1}=b_{n}.
    • (Não ocorrerá aqui o caso de f(x_{n})=0 exato nas primeiras iterações.)
  • Vou usar aproximações numéricas de e^{x}. Para sermos consistentes uso e\approx 2{,}718281828 e, quando útil, a relação e^{u+v}=e^{u}e^{v} e raízes sucessivas (por exemplo e^{0{,}25}=\sqrt{\sqrt{e}}) para obter valores aproximados explicando como foram obtidos.

Passo 3

Iteração n=1. Começo com a_{1}=0 e b_{1}=1.
  • Calculo do ponto médio:
x_{1}=\frac{a_{1}+b_{1}}{2}=\frac{0+1}{2}=0{,}5.
  • Avaliações:
f(a_{1})=f(0)=e^{0}+0-2=1+0-2=-1.
f(b_{1})=f(1)=e^{1}+1-2=e-1\approx 2{,}718281828-1=1{,}718281828.
Para f(x_{1}):
f(0{,}5)=e^{0{,}5}+0{,}5-2.
Usando e^{0{,}5}=\sqrt{e}\approx 1{,}648721271, obtemos
f(0{,}5)\approx 1{,}648721271+0{,}5-2=0{,}148721271.
  • Teste de sinais: f(a_{1})\cdot f(x_{1})=(-1)\cdot 0{,}1487\ldots<0. Logo a raiz está em [a_{1},x_{1}]=[0,0{,}5]. Portanto
a_{2}=0,\qquad b_{2}=0{,}5.

Passo 4

Iteração n=2. Com a_{2}=0 e b_{2}=0{,}5.
  • Ponto médio:
x_{2}=\frac{0+0{,}5}{2}=0{,}25.
  • Avaliações:
f(0)= -1 \quad(\text{já calculado}).á
Para f(0{,}25):
f(0{,}25)=e^{0{,}25}+0{,}25-2.
Usando e^{0{,}25}=\sqrt{\sqrt{e}}. Numéricas: e^{0{,}25}\approx 1{,}284025417. Então
f(0{,}25)\approx 1{,}284025417+0{,}25-2=-0{,}465974583.
E f(0{,}5)\approx 0{,}148721271 (do passo anterior).
  • Teste de sinais: f(0{,}25)\cdot f(0{,}5)=(-0{,}46597\ldots)\cdot(0{,}1487\ldots)<0. Portanto a raiz está em [0{,}25,0{,}5] e definimos
a_{3}=0{,}25,\qquad b_{3}=0{,}5.

Passo 5

Iteração n=3. Com a_{3}=0{,}25 e b_{3}=0{,}5.
  • Ponto médio:
x_{3}=\frac{0{,}25+0{,}5}{2}=0{,}375.
  • Avaliações:
f(0{,}25)\approx -0{,}465974583 \quad(\text{do passo anterior}).
Para f(0{,}375):
f(0{,}375)=e^{0{,}375}+0{,}375-2.
Podemos usar e^{0{,}375}=e^{0{,}25}e^{0{,}125}. Já temos e^{0{,}25}\approx 1{,}284025417. Temos e^{0{,}125}=\sqrt{e^{0{,}25}}\approx \sqrt{1{,}284025417}\approx 1{,}133148453. Multiplicando:
e^{0{,}375}\approx 1{,}284025417\times 1{,}133148453\approx 1{,}454991414.
Logo
f(0{,}375)\approx 1{,}454991414+0{,}375-2=-0{,}170008586.
E f(0{,}5)\approx 0{,}148721271.
  • Teste de sinais: f(0{,}375)\cdot f(0{,}5)=(-0{,}1700\ldots)\cdot(0{,}1487\ldots)<0. Portanto a raiz está em [0{,}375,0{,}5] e definimos
a_{4}=0{,}375,\qquad b_{4}=0{,}5.

Passo 6

Iteração n=4. Com a_{4}=0{,}375 e b_{4}=0{,}5.
  • Ponto médio:
x_{4}=\frac{0{,}375+0{,}5}{2}=0{,}4375.
  • Avaliações:
f(0{,}375)\approx -0{,}170008586 \quad(\text{do passo anterior}).
Para f(0{,}4375):
f(0{,}4375)=e^{0{,}4375}+0{,}4375-2.
Usando decomposição e^{0{,}4375}=e^{0{,}25}e^{0{,}125}e^{0{,}0625}. Já temos e^{0{,}25}\approx 1{,}284025417 e e^{0{,}125}\approx 1{,}133148453. Também e^{0{,}0625}=\sqrt{e^{0{,}125}}\approx \sqrt{1{,}133148453}\approx 1{,}064494458. Multiplicando:
e^{0{,}4375}\approx 1{,}284025417\times 1{,}133148453\times 1{,}064494458\approx 1{,}548811636.
Logo
f(0{,}4375)\approx 1{,}548811636+0{,}4375-2=-0{,}013688364.
E f(0{,}5)\approx 0{,}148721271.
  • Teste de sinais: f(0{,}4375)\cdot f(0{,}5)=(-0{,}013688\ldots)\cdot(0{,}1487\ldots)<0. Portanto a raiz está em [0{,}4375,0{,}5].

Resposta

n=1:\\ a_{1}=0,\\ x_{1}=0{,}5,\\ b_{1}=1,\\ f(a_{1})=-1,\\ f(x_{1})\approx 0{,}148721271,\\ f(b_{1})\approx 1{,}718281828\
n=2:\\ a_{2}=0,\\ x_{2}=0{,}25,\\ b_{2}=0{,}5,\\ f(a_{2})=-1,\\ f(x_{2})\approx -0{,}465974583,\\ f(b_{2})\approx 0{,}148721271\
n=3:\\ a_{3}=0{,}25,\\ x_{3}=0{,}375,\\ b_{3}=0{,}5,\\ f(a_{3})\approx -0{,}465974583,\\ f(x_{3})\approx -0{,}170008586,\\ f(b_{3})\approx 0{,}148721271\
n=4:\\ a_{4}=0{,}375,\\ x_{4}=0{,}4375,\\ b_{4}=0{,}5,\\ f(a_{4})\approx -0{,}170008586,\\ f(x_{4})\approx -0{,}013688364,\\ f(b_{4})\approx 0{,}148721271

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