Questão 2. Para cada item, calcule 4 passos do método de Newton para aproximar a solução da equação, usando a aproximação inicial x_{0} dada.
(a) x^{3}-4 x^{2}+1=0, x_{0}=3.5

Passo 1

O enunciado pede: “Para cada item, calcule 4 passos do método de Newton para aproximar a solução da equação, usando a aproximação inicial x_{0} dada.”
Para este item temos:
  • Equação: \,x^{3}-4x^{2}+1=0\,.
  • Aproximação inicial: \,x_{0}=3{,}5.
    O objetivo concreto aqui é obter as aproximações \,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\, geradas pelo método de Newton a partir de \,x_{0}.

Passo 2

Explicando o método (aula rápida e prática). O método de Newton itera a fórmula abaixo para melhorar uma aproximação de uma raiz:
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Aqui:
  • f(x) é a função cuja raiz se procura; no nosso caso f(x)=x^{3}-4x^{2}+1.
  • f'(x) é a derivada de f; iremos calculá‑la explicitamente.
    Vamos primeiro calcular a derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-4x^{2}+1\bigr)=3x^{2}-8x.
Agora aplicamos a fórmula de Newton repetidamente, computando em cada passo f(x_{n}) e f'(x_{n}) e fazendo a atualização.

Passo 3

Cálculo do primeiro passo (de \,x_{0} para \,x_{1}).
Calcular f(x_{0}) e f'(x_{0}) com \,x_{0}=3{,}5:
f(3{,}5)=3{,}5^{3}-4\cdot3{,}5^{2}+1=42{,}875-49+1=-5{,}125.
f'(3{,}5)=3\cdot3{,}5^{2}-8\cdot3{,}5=36{,}75-28=8{,}75.
Aplicando a fórmula de Newton:
x_{1}=3{,}5-\frac{-5{,}125}{8{,}75}=3{,}5+\frac{5{,}125}{8{,}75}= \frac{143}{35}\approx4{,}085714285714286.
(Observação: a fração 143/35 veio da simplificação exata, é útil porque evita erros de arredondamento nesta etapa.)

Passo 4

Cálculo do segundo passo (de \,x_{1} para \,x_{2}).
Primeiro avaliaremos f(x_{1}) e f'(x_{1}) de forma exata em frações (quando possível) para maior precisão. Com x_{1}=\dfrac{143}{35}:
Calcular x_{1}^{2} e x_{1}^{3}:
x_{1}^{2}=\frac{20449}{1225},\qquad x_{1}^{3}=\frac{2924207}{42875}.
Agora
f(x_{1})=x_{1}^{3}-4x_{1}^{2}+1 =\frac{2924207}{42875}-4\cdot\frac{20449}{1225}+1 =\frac{104222}{42875}\approx2{,}430830.
f'(x_{1})=3x_{1}^{2}-8x_{1} =\frac{61347}{1225}-\frac{1144}{35} =\frac{21307}{1225}\approx17{,}3938776.
A razão \dfrac{f(x_{1})}{f'(x_{1})} simplifica-se de forma agradável:
\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})}=\frac{\dfrac{104222}{42875}}{\dfrac{21307}{1225}} =\frac{104222}{42875}\cdot\frac{1225}{21307} =\frac{104222}{745745}\approx0{,}139755545.
Logo
x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})}\approx4{,}085714285714286-0{,}139755545 \approx3{,}945958740714286.

Passo 5

Cálculo do terceiro passo (de \,x_{2} para \,x_{3}).
Usamos agora aproximações decimais, mantendo boa precisão. Tomando x_{2}\approx3{,}945958740714286:
Calcular x_{2}^{2} e x_{2}^{3} (fazer com cuidado; aqui usei a técnica de escrever x_{2}=4-\delta para ajudar as contas):
x_{2}^{2}\approx15{,}570589926\quad\text{e}\quad x_{2}^{3}\approx61{,}44086621.
Agora
f(x_{2})=x_{2}^{3}-4x_{2}^{2}+1\approx61{,}44086621-4\cdot15{,}570589926+1 \approx0{,}158510296.
f'(x_{2})=3x_{2}^{2}-8x_{2}\approx3\cdot15{,}570589926-8\cdot3{,}945958740714286 \approx15{,}1440998523.
A correção é
\frac{f(x_{2})}{f'(x_{2})}\approx\frac{0{,}158510296}{15{,}1440998523}\approx0{,}010468896.
Portanto
x_{3}=x_{2}-\frac{f(x_{2})}{f'(x_{2})}\approx3{,}945958740714286-0{,}010468896 \approx3{,}935489844714286.

Passo 6

Cálculo do quarto passo (de \,x_{3} para \,x_{4}).
Com x_{3}\approx3{,}935489844714286, repetimos os passos:
Calcular x_{3}^{2} e x_{3}^{3} (novamente usando x_{3}=4-\delta para facilitar):
x_{3}^{2}\approx15{,}488080312,\qquad x_{3}^{3}\approx60{,}953120064.
Então
f(x_{3})=x_{3}^{3}-4x_{3}^{2}+1\approx60{,}953120064-4\cdot15{,}488080312+1 \approx0{,}000798752.
f'(x_{3})=3x_{3}^{2}-8x_{3}\approx3\cdot15{,}488080312-8\cdot3{,}935489844714286 \approx14{,}9803221783.
Correção:
\frac{f(x_{3})}{f'(x_{3})}\approx\frac{0{,}000798752}{14{,}9803221783}\approx0{,}0000533007.
Portanto
x_{4}=x_{3}-\frac{f(x_{3})}{f'(x_{3})}\approx3{,}935489844714286-0{,}0000533007 \approx3{,}935436544.

Resposta

x_{1}\approx4{,}085714285714286
x_{2}\approx3{,}945958740714286
x_{3}\approx3{,}935489844714286
x_{4}\approx3{,}935436544

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