Questão 2. Para cada item, calcule 4 passos do método de Newton para aproximar a solução da equação, usando a aproximação inicial
dada.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede: “Para cada item, calcule 4 passos do método de Newton para aproximar a solução da equação, usando a aproximação inicial
dada.”
Para este item temos:
Para este item temos:
- Equação:
. - Aproximação inicial:
.
O objetivo concreto aqui é obter as aproximaçõesgeradas pelo método de Newton a partir de .
Passo 2
Explicando o método (aula rápida e prática). O método de Newton itera a fórmula abaixo para melhorar uma aproximação de uma raiz:
Aqui:
-
é a função cuja raiz se procura; no nosso caso . -
é a derivada de ; iremos calculá‑la explicitamente.
Vamos primeiro calcular a derivada:
Agora aplicamos a fórmula de Newton repetidamente, computando em cada passo
e
e fazendo a atualização.
Passo 3
Cálculo do primeiro passo (de
para
).
Calcular
e
com
:
Aplicando a fórmula de Newton:
(Observação: a fração
veio da simplificação exata, é útil porque evita erros de arredondamento nesta etapa.)
Passo 4
Cálculo do segundo passo (de
para
).
Primeiro avaliaremos
e
de forma exata em frações (quando possível) para maior precisão. Com
:
Calcular
e
:
Agora
A razão
simplifica-se de forma agradável:
Logo
Passo 5
Cálculo do terceiro passo (de
para
).
Usamos agora aproximações decimais, mantendo boa precisão. Tomando
:
Calcular
e
(fazer com cuidado; aqui usei a técnica de escrever
para ajudar as contas):
Agora
A correção é
Portanto
Passo 6
Cálculo do quarto passo (de
para
).
Com
, repetimos os passos:
Calcular
e
(novamente usando
para facilitar):
Então
Correção:
Portanto