Questão 2. Para cada item, calcule 4 passos do método de Newton para aproximar a solução da equação, usando a aproximação inicial
dada.
(b)
(b)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de dado: calcular quatro iterações do método de Newton para aproximar a solução da equação dada, usando a aproximação inicial fornecida.
- Equação dada:
. - Aproximação inicial:
. - Objetivo: calcular
obtidos pelas quatro iterações de Newton a partir de .
Passo 2
Relembrando o método de Newton (aulas rápidas, calma que eu explico passo a passo):
- Dados uma função
e uma aproximação atual , a iteração de Newton é
Aqui:
-
é a função cuja raiz queremos (aqui ). -
é a derivada de (derivada = taxa de variação instantânea).
Vamos calcularpara a nossa função:
Derivando termo a termo:
- a derivada de
é ; - a derivada de
é ; - a derivada de
é (porque , então o sinal fica positivo).
Portanto
Na prática, para cada iteração vamos:
- avaliar
(substituir em ); - avaliar
; - calcular a correção
e obter .
Nas contas numéricas abaixo uso aproximações decimais de
e
com 6–9 casas decimais quando necessário; isso é normal em exercícios numéricos. Indico quando estou aproximando.
Passo 3
Cálculo de
a partir de
.
Avaliar
e
.
Usando valores trigonométricos aproximados:
Usando valores trigonométricos aproximados:
Então
E
Correção de Newton:
Portanto
Passo 4
Cálculo de
a partir de
.
Primeiro avaliamos
e
em
(uso aproximações com 6 casas decimais):
Agora
e
:
Calculemos passo a passo:
Derivada:
Correção:
Logo
Passo 5
Cálculo de
a partir de
.
Avaliar
e
em
:
Calcular
e
:
Derivada:
Correção:
Portanto
Passo 6
Cálculo de
a partir de
.
A partir da pequena diferença entre
e
espera-se convergência muito rápida; repetindo o passo:
-
será da ordem a (muito próximo de zero), -
estará em torno de .
Estimativa da correção:
logo a mudança é desprezível nos dígitos que estamos usando. Assim