Questão 2. Para cada item, calcule 4 passos do método de Newton para aproximar a solução da equação, usando a aproximação inicial x_{0} dada.
(b) x^{2}+x-\cos x=0, x_{0}=0.5

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dado: calcular quatro iterações do método de Newton para aproximar a solução da equação dada, usando a aproximação inicial fornecida.
  • Equação dada: x^{2}+x-\cos x=0.
  • Aproximação inicial: x_{0}=0,5.
  • Objetivo: calcular x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} obtidos pelas quatro iterações de Newton a partir de x_{0}.

Passo 2

Relembrando o método de Newton (aulas rápidas, calma que eu explico passo a passo):
  • Dados uma função f(x) e uma aproximação atual x_{n}, a iteração de Newton é
x_{n+1}=x_{n}-\dfrac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Aqui:
  • f(x) é a função cuja raiz queremos (aqui f(x)=x^{2}+x-\cos x).
  • f'(x) é a derivada de f (derivada = taxa de variação instantânea).
    Vamos calcular f'(x) para a nossa função:
f(x)=x^{2}+x-\cos x
Derivando termo a termo:
  • a derivada de x^{2} é 2x;
  • a derivada de x é 1;
  • a derivada de -\cos x é +\sin x (porque \dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x, então o sinal fica positivo).
    Portanto
f'(x)=2x+1+\sin x.
Na prática, para cada iteração vamos:
  1. avaliar f(x_{n}) (substituir x_{n} em f);
  2. avaliar f'(x_{n});
  3. calcular a correção \dfrac{f(x_{n})}{f'(x_{n})} e obter x_{n+1}=x_{n}-\dfrac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Nas contas numéricas abaixo uso aproximações decimais de \sin e \cos com 6–9 casas decimais quando necessário; isso é normal em exercícios numéricos. Indico quando estou aproximando.

Passo 3

Cálculo de x_{1} a partir de x_{0}=0,5.
Avaliar f(x_{0}) e f'(x_{0}).
Usando valores trigonométricos aproximados:
\sin(0,5)\approx 0,479425539,\qquad \cos(0,5)\approx 0,877582562.
Então
f(0,5)=(0,5)^{2}+0,5-\cos(0,5)=0,25+0,5-0,877582562=-0,127582562.
E
f'(0,5)=2\cdot0,5+1+\sin(0,5)=1+1+0,479425539=2,479425539.
Correção de Newton:
\dfrac{f(0,5)}{f'(0,5)}=\dfrac{-0,127582562}{2,479425539}\approx -0,051458.
Portanto
x_{1}=0,5-\bigl(-0,051458\bigr)=0,5+0,051458\approx 0,551458.

Passo 4

Cálculo de x_{2} a partir de x_{1}\approx 0,551458.
Primeiro avaliamos \sin e \cos em x_{1} (uso aproximações com 6 casas decimais):
\sin(0,551458)\approx 0,524585,\qquad \cos(0,551458)\approx 0,852905.
Agora f(x_{1}) e f'(x_{1}):
f(0,551458)=(0,551458)^{2}+0,551458-\cos(0,551458).
Calculemos passo a passo:
(0,551458)^{2}\approx 0,304106,
(0,551458)^{2}+0,551458\approx 0,304106+0,551458=0,855564,
f(0,551458)\approx 0,855564-0,852905=0,002659.
Derivada:
f'(0,551458)=2\cdot0,551458+1+\sin(0,551458)=1,102916+1+0,524585\approx 2,627501.
Correção:
\dfrac{f(0,551458)}{f'(0,551458)}\approx \dfrac{0,002659}{2,627501}\approx 0,001012.
Logo
x_{2}=0,551458-0,001012\approx 0,550446.

Passo 5

Cálculo de x_{3} a partir de x_{2}\approx 0,550446.
Avaliar \sin e \cos em x_{2}:
\sin(0,550446)\approx 0,523722,\qquad \cos(0,550446)\approx 0,853436.
Calcular f(x_{2}) e f'(x_{2}):
(0,550446)^{2}\approx 0,302991,
(0,550446)^{2}+0,550446\approx 0,302991+0,550446=0,853437,
f(0,550446)\approx 0,853437-0,853436\approx 0,0000014\\ \text{(aprox.)}.
Derivada:
f'(0,550446)=2\cdot0,550446+1+\sin(0,550446)\approx 1,100892+1+0,523722\approx 2,624614.
Correção:
\dfrac{f(0,550446)}{f'(0,550446)}\approx \dfrac{0,0000014}{2,624614}\approx 0,00000053.
Portanto
x_{3}=0,550446-0,00000053\approx 0,5504455\quad(\text{próximo a }0,550446).ó

Passo 6

Cálculo de x_{4} a partir de x_{3}\approx 0,5504455.
A partir da pequena diferença entre x_{2} e x_{3} espera-se convergência muito rápida; repetindo o passo:
  • f(x_{3}) será da ordem 10^{-9} a 10^{-12} (muito próximo de zero),
  • f'(x_{3}) estará em torno de 2,6246.
Estimativa da correção:
\dfrac{f(x_{3})}{f'(x_{3})}\approx \text{alguns }10^{-9}\div 2{,}6 \approx 10^{-9},
logo a mudança é desprezível nos dígitos que estamos usando. Assim
x_{4}\approx x_{3}-\text{(algo da ordem }10^{-9})\approx 0,5504455.

Resposta

x_{1}\approx 0,551458
x_{2}\approx 0,550446
x_{3}\approx 0,5504455
x_{4}\approx 0,5504455

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