Questão 3. Calcule as derivadas das funções a seguir
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função é o produto de duas expressões:
e . - Não há mais dados; só é pedido encontrar
, a derivada em função de .
Passo 2
Que ferramenta usar (explicação do que preciso aplicar agora).
Quando uma função é produto de duas funções de , como
, a fórmula para a derivada é a chamada regra do produto:
Quando uma função é produto de duas funções de
Aqui vou identificar
e
. A ideia é calcular
e
separadamente e depois aplicar a regra do produto. Explico como achar cada uma dessas derivadas nos próximos passos.
Passo 3
Derivada de
.
Uma forma prática é lembrar que qualquer exponencial de base pode ser escrita como
. Assim
Uma forma prática é lembrar que qualquer exponencial de base
Derivando essa expressão usando a regra da cadeia (derivada de
é
):
Voltando à forma
, obtemos
Aqui
é uma constante (logaritmo natural de 3).
Passo 4
Derivada de
.
Uma maneira direta é usar e aplicar a regra do quociente. Para lembrar: se
então
Uma maneira direta é usar
Aplicando com
e
:
Como
, isso simplifica para
Essa função também é escrita por
, então
Passo 5
Agora aplico a regra do produto com
e
.
Temos (Passo 3) e
(Passo 4). Portanto
Temos
Passo 6
Podemos simplificar fatorando
, que é comum nos dois termos:
Se preferir, substituir
por
; ambas as formas são equivalentes. Também vale lembrar o domínio da função original:
(e
) são indefinidas quando
, então a expressão da derivada só faz sentido nos
onde
.