Questão 3. Calcule as derivadas das funções a seguir
f(x)=3^{x} \cdot \operatorname{tg} x

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função
f(x)=3^{x}\cdot \operatorname{tg} x.
Informações dadas:
  • A função é o produto de duas expressões: 3^{x} e \operatorname{tg} x.
  • Não há mais dados; só é pedido encontrar f'(x), a derivada em função de x.

Passo 2

Que ferramenta usar (explicação do que preciso aplicar agora).
Quando uma função é produto de duas funções de x, como u(x)\cdot v(x), a fórmula para a derivada é a chamada regra do produto:
\text{se } F(x)=u(x)v(x)\quad\text{então}\quad F'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).ã
Aqui vou identificar u(x)=3^{x} e v(x)=\operatorname{tg} x. A ideia é calcular u'(x) e v'(x) separadamente e depois aplicar a regra do produto. Explico como achar cada uma dessas derivadas nos próximos passos.

Passo 3

Derivada de u(x)=3^{x}.
Uma forma prática é lembrar que qualquer exponencial de base a>0 pode ser escrita como a^{x}=e^{x\ln a}. Assim
3^{x}=e^{x\ln 3}.
Derivando essa expressão usando a regra da cadeia (derivada de e^{g(x)} é e^{g(x)}g'(x)):
\frac{d}{dx}3^{x}=\frac{d}{dx}e^{x\ln 3}=e^{x\ln 3}\cdot\ln 3.
Voltando à forma 3^{x}, obtemos
\frac{d}{dx}3^{x}=3^{x}\ln 3.
Aqui \ln 3 é uma constante (logaritmo natural de 3).

Passo 4

Derivada de v(x)=\operatorname{tg} x.
Uma maneira direta é usar \operatorname{tg} x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e aplicar a regra do quociente. Para lembrar: se w(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)} então
w'(x)=\frac{p'(x)q(x)-p(x)q'(x)}{q(x)^{2}}.
Aplicando com p(x)=\sin x e q(x)=\cos x:
\frac{d}{dx}\operatorname{tg} x =\frac{(\cos x)(\cos x)-(\sin x)(- \sin x)}{\cos^{2}x} =\frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x}.
Como \cos^{2}x+\sin^{2}x=1, isso simplifica para
\frac{d}{dx}\operatorname{tg} x=\frac{1}{\cos^{2}x}.
Essa função também é escrita por \operatorname{sec}^{2}x, então
\frac{d}{dx}\operatorname{tg} x=\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 5

Agora aplico a regra do produto com u(x)=3^{x} e v(x)=\operatorname{tg} x.
Temos u'(x)=3^{x}\ln 3 (Passo 3) e v'(x)=\operatorname{sec}^{2}x (Passo 4). Portanto
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) = \bigl(3^{x}\ln 3\bigr)\operatorname{tg} x + 3^{x}\bigl(\operatorname{sec}^{2}x\bigr).

Passo 6

Podemos simplificar fatorando 3^{x}, que é comum nos dois termos:
f'(x)=3^{x}\bigl(\ln 3\cdot \operatorname{tg} x + \operatorname{sec}^{2}x\bigr).
Se preferir, substituir \operatorname{sec}^{2}x por \dfrac{1}{\cos^{2}x}; ambas as formas são equivalentes. Também vale lembrar o domínio da função original: \operatorname{tg} x (e \operatorname{sec}^{2}x) são indefinidas quando \cos x=0, então a expressão da derivada só faz sentido nos x onde \cos x\neq 0.

Resposta

f'(x)=3^{x}\bigl(\ln 3\cdot \operatorname{tg} x + \operatorname{sec}^{2}x\bigr)

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