Questão 4. Em cada item, resolva o que se pede
A função \boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}), \boldsymbol{y}>\boldsymbol{0}, é dada implicitamente por \mathbf{9 x}^{\mathbf{2}}+\mathbf{4 y}^{\mathbf{2}}=\mathbf{3 6}. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de \boldsymbol{f}, no ponto de abscissa \boldsymbol{x}=\mathbf{1}.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva definida implicitamente pela equação
9x^{2}+4y^{2}=36
com a condição \,y>0\,. Pede-se: determinar a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa \,x=1.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Equação implícita: \,9x^{2}+4y^{2}=36\,.
  • Deve-se considerar a ramo com \,y>0\, (a coordenada y é positiva).
  • O ponto de tangência tem abscissa \,x=1. É preciso encontrar a ordenada correspondente \,y(1) e a inclinação (derivada) \,y'(1) para escrever a reta tangente.

Passo 2

Encontrar a ordenada y no ponto onde x=1. Substituindo x=1 na equação da curva:
9\cdot 1^{2}+4y^{2}=36
9+4y^{2}=36
4y^{2}=27
y^{2}=\frac{27}{4}
Como o enunciado exige \,y>0, tomamos a raiz positiva:
y=\frac{\sqrt{27}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}.
Logo o ponto de tangência é \left(1,\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right).

Passo 3

Explicar e aplicar diferenciação implícita para obter a derivada \,y'(x)=\dfrac{dy}{dx}.
Ideia: a curva é dada por uma relação entre x e y. Para obter a inclinação da tangente usamos derivação em ambos os lados da equação em relação a x, tratando y como função de x. Regra importante: ao derivar uma expressão que depende de y, aplicar a regra da cadeia; por exemplo, a derivada de y^{2} em relação a x é 2y\cdot y', onde y'=\dfrac{dy}{dx}.
Derivando \,9x^{2}+4y^{2}=36\, em relação a x:
\frac{d}{dx}\big(9x^{2}\big)+\frac{d}{dx}\big(4y^{2}\big)=\frac{d}{dx}(36).
Calcule cada termo:
\frac{d}{dx}\big(9x^{2}\big)=18x, \qquad \frac{d}{dx}\big(4y^{2}\big)=4\cdot 2y\cdot y'=8y\,y', \qquad \frac{d}{dx}(36)=0.
Portanto obtemos a relação
18x+8y\,y'=0.

Passo 4

Isolar y' na relação obtida:
8y\,y'=-18x
y'=-\frac{18x}{8y}=-\frac{9x}{4y}.
Esta é a fórmula geral da inclinação da tangente à curva em qualquer ponto (x,y) que satisfaça a equação.

Passo 5

Avaliar y' no ponto \left(1,\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right). Substituindo x=1 e y=\dfrac{3\sqrt{3}}{2} na fórmula \,y'=-\dfrac{9x}{4y}:
y'(1)=-\frac{9\cdot 1}{4\cdot \dfrac{3\sqrt{3}}{2}}=-\frac{9}{4\cdot \dfrac{3\sqrt{3}}{2}}.
Calcule o denominador:
4\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}=2\cdot 3\sqrt{3}=6\sqrt{3}.
Então
y'(1)=-\frac{9}{6\sqrt{3}}=-\frac{3}{2\sqrt{3}}.
Racionalizando (opcional, deixa mais simples):
-\frac{3}{2\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=-\frac{3\sqrt{3}}{2\cdot 3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto a inclinação da reta tangente é \,m=y'(1)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 6

Escrever a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação:
y-y_{0}=m(x-x_{0}),
onde (x_{0},y_{0})=\left(1,\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right) e m=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Substituindo:
y-\frac{3\sqrt{3}}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}(x-1).
Podemos deixar nessa forma ou expandir para a forma explícita. Expandindo:
y-\frac{3\sqrt{3}}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}
y=-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}
y=-\frac{\sqrt{3}}{2}x+2\sqrt{3}.

Resposta

y-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}(x-1)
ou equivalentemente
y=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}x+2\sqrt{3}

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