Questão 4. Em cada item, resolva o que se pede
A função
, é dada implicitamente por
. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
, no ponto de abscissa
.
A função
Passo 1
O enunciado nos dá a curva definida implicitamente pela equação
com a condição
. Pede-se: determinar a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto de abscissa
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Equação implícita:
. - Deve-se considerar a ramo com
(a coordenada é positiva). - O ponto de tangência tem abscissa
. É preciso encontrar a ordenada correspondente e a inclinação (derivada) para escrever a reta tangente.
Passo 2
Encontrar a ordenada
no ponto onde
. Substituindo
na equação da curva:
Como o enunciado exige
, tomamos a raiz positiva:
Logo o ponto de tangência é
.
Passo 3
Explicar e aplicar diferenciação implícita para obter a derivada
.
Ideia: a curva é dada por uma relação entre e
. Para obter a inclinação da tangente usamos derivação em ambos os lados da equação em relação a
, tratando
como função de
. Regra importante: ao derivar uma expressão que depende de
, aplicar a regra da cadeia; por exemplo, a derivada de
em relação a
é
, onde
.
Ideia: a curva é dada por uma relação entre
Derivando
em relação a
:
Calcule cada termo:
Portanto obtemos a relação
Passo 4
Isolar
na relação obtida:
Esta é a fórmula geral da inclinação da tangente à curva em qualquer ponto
que satisfaça a equação.
Passo 5
Avaliar
no ponto
. Substituindo
e
na fórmula
:
Calcule o denominador:
Então
Racionalizando (opcional, deixa mais simples):
Portanto a inclinação da reta tangente é
.
Passo 6
Escrever a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação:
onde
e
. Substituindo:
Podemos deixar nessa forma ou expandir para a forma explícita. Expandindo:
Resposta
ou equivalentemente