Questão 3. Calcule as derivadas das funções a seguir
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. As informações são:
- Função:
. - Pedido: encontrar a derivada
(ou seja, a taxa de variação de em relação a ).
Passo 2
Relembrando as regras de derivação que vamos usar (cada fórmula vem com explicação do que significa):
- Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Se
, então . - Aqui isso vale para as três parcelas
, e .
- Aqui isso vale para as três parcelas
- Derivada de uma constante multiplicando
: se com constante, então . - No caso,
tem derivada .
- No caso,
- Derivada da função seno:
. - Aqui
é o cosseno de .
- Aqui
- Derivadas envolvendo exponencial composta e produto: se
então (regra da cadeia). - Vamos aplicar isso a
reescrevendo-a como exponencial.
- Vamos aplicar isso a
Passo 3
Para derivar
o truque clássico é reescrevê-la com exponencial e logaritmo. Para
vale a identidade
porque
. Observação: esta forma usa
, portanto a dedução direta que vem a seguir requer
(isso é o caso usual para
com log natural). Vamos diferenciar a expressão na forma exponencial.
Passo 4
Defina
. Então
. Pela regra da cadeia,
Agora precisamos de
. Como
é um produto, usamos a regra do produto: se
então
. Aqui
e
. Então
Sabendo que
e
, obtemos
Passo 5
Voltando para a derivada de
:
Como
, fica
(Aqui uma checagem rápida: em
isso dá
, que coincide com derivada direta no ponto
.)
Passo 6
Agora as outras duas parcelas:
-
. -
.
Passo 7
Usando a regra da soma (somamos as derivadas das parcelas) e juntando tudo: