Questão 3. Calcule as derivadas das funções a seguir
f(x)=x^{x}+\operatorname{sen}(x)-10 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. As informações são:
  • Função: f(x)=x^{x}+\operatorname{sen}(x)-10x.
  • Pedido: encontrar a derivada f'(x) (ou seja, a taxa de variação de f em relação a x).

Passo 2

Relembrando as regras de derivação que vamos usar (cada fórmula vem com explicação do que significa):
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Se h(x)=u(x)+v(x), então \,h'(x)=u'(x)+v'(x).
    • Aqui isso vale para as três parcelas x^{x}, \operatorname{sen}(x) e -10x.
  • Derivada de uma constante multiplicando x: se u(x)=c\cdot x com c constante, então u'(x)=c.
    • No caso, -10x tem derivada -10.
  • Derivada da função seno: \dfrac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen}(x)\bigr)=\operatorname{cos}(x).
    • Aqui \operatorname{cos}(x) é o cosseno de x.
  • Derivadas envolvendo exponencial composta e produto: se y=e^{u(x)} então \dfrac{dy}{dx}=e^{u(x)}\cdot u'(x) (regra da cadeia).
    • Vamos aplicar isso a x^{x} reescrevendo-a como exponencial.

Passo 3

Para derivar x^{x} o truque clássico é reescrevê-la com exponencial e logaritmo. Para x>0 vale a identidade
x^{x}=e^{x\ln x},
porque a^{b}=e^{b\ln a}. Observação: esta forma usa \ln x, portanto a dedução direta que vem a seguir requer x>0 (isso é o caso usual para x^{x} com log natural). Vamos diferenciar a expressão na forma exponencial.

Passo 4

Defina u(x)=x\ln x. Então x^{x}=e^{u(x)}. Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{x}\bigr)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{u(x)}\bigr)=e^{u(x)}\cdot u'(x).
Agora precisamos de u'(x). Como u(x)=x\ln x é um produto, usamos a regra do produto: se p(x)=a(x)\,b(x) então p'(x)=a'(x)b(x)+a(x)b'(x). Aqui a(x)=x e b(x)=\ln x. Então
u'(x)=\frac{d}{dx}(x)\cdot\ln x + x\cdot\frac{d}{dx}(\ln x).
Sabendo que \dfrac{d}{dx}(x)=1 e \dfrac{d}{dx}(\ln x)=\dfrac{1}{x}, obtemos
u'(x)=1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x}=\ln x + 1.

Passo 5

Voltando para a derivada de x^{x}:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{x}\bigr)=e^{u(x)}\cdot u'(x)=e^{x\ln x}\cdot(\ln x + 1).
Como e^{x\ln x}=x^{x}, fica
\frac{d}{dx}\bigl(x^{x}\bigr)=x^{x}\,(\ln x + 1).
(Aqui uma checagem rápida: em x=1 isso dá 1^{1}(\ln 1+1)=1\cdot(0+1)=1, que coincide com derivada direta no ponto 1.)

Passo 6

Agora as outras duas parcelas:
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen}(x)\bigr)=\operatorname{cos}(x).
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(-10x\bigr)=-10.

Passo 7

Usando a regra da soma (somamos as derivadas das parcelas) e juntando tudo:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{x}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen}(x)\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(-10x\bigr)
f'(x)=x^{x}(\ln x + 1)+\operatorname{cos}(x)-10.

Resposta

f'(x)=x^{x}(\ln x+1)+\operatorname{cos}(x)-10

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