Questão 2. Em cada item a seguir, dê uma equação geral para um plano pi nas condições mencionadas.
pi é perpendicular ao plano pi1: 2 x-y-3=0 e paralelo à reta
r:(x, y, z)=(1,0,1)+t(2,1,-1), t in R

Passo 1

O enunciado pede um plano pi que seja perpendicular ao plano
pi1:2x - y - 3 = 0
e paralelo à reta
r: (x,y,z) = (1,0,1) + t,(2,1,-1),;tinR
Na matéria de geometria analítica, usamos que
  1. dois planos são perpendiculares se e só se seus vetores normais são ortogonais,
  2. uma reta é paralela a um plano se e só se seu vetor diretor é ortogonal ao vetor normal do plano.

Passo 2

Seja n=(a,b,c) o vetor normal de pi. O vetor normal de pi1 é
n1=(2,-1,0).
A condição de perpendicularidade é
ncdotn1=2a - b + 0cdot c = 0

Passo 3

O vetor diretor da reta é
Portanto o sistema para é
Da primeira equação segue , ou seja .

Passo 4

Basta escolher a=1 (qualquer outra constante só escalona o normal). Assim
n=(1,2,4)
é um normal válido para pi. Logo a equação geral de pi é
x + 2y + 4z + D = 0,
em que DinR desloca o plano ao longo da normal.

Resposta

A família de planos que satisfaz as condições é
boxedpi: ;x + 2y + 4z + D = 0, DinR

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