Questão 3. Em cada um dos itens abaixo verifique se as aplicações
\begin{aligned} \langle\cdot, \cdot\rangle: \mathbb{V} \times \mathbb{V} & \longrightarrow \mathbb{R} \\\ (u, v) & \mapsto\langle u, v\rangle . \end{aligned}
definem um produto interno sobre o espaço vetorial \mathbb{V}.
(c) \mathbb{V}=\mathbb{R}^{3} \mathrm{e}\langle u, v\rangle=u_{1} v_{1}+u_{2} v_{2}-u_{3} v_{3}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
\langle\cdot,\cdot\rangle:\mathbb{V}\times\mathbb{V}\to\mathbb{R}
definida em \mathbb{V}=\mathbb{R}^3 por
\langle u,v\rangle = u_1 v_1 + u_2 v_2 - u_3 v_3
é um produto interno. Informações dadas:
  • O espaço vetorial é \mathbb{V}=\mathbb{R}^3.
  • A aplicação é \langle u,v\rangle=u_1 v_1 + u_2 v_2 - u_3 v_3, onde u=(u_1,u_2,u_3) e v=(v_1,v_2,v_3).
  • A tarefa: verificar se essa aplicação satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um produto interno.

Passo 2

Vamos recordar, passo a passo e com calma, o que é preciso checar para que uma aplicação seja um produto interno (em espaço real). São quatro propriedades principais. Vou escrever cada uma, explicar o sentido e o que significam as variáveis.
  1. Linearidade no primeiro argumento:
\langle \alpha u + \beta w, v\rangle = \alpha \langle u,v\rangle + \beta \langle w,v\rangle
para quaisquer vetores u,w,v\in\mathbb{R}^3 e escalares \alpha,\beta\in\mathbb{R}.
Significado: se eu somar vetores e puxar uma constante para fora, o produto interno se comporta bem — é linear.
  1. Simetria:
\langle u,v\rangle = \langle v,u\rangle
para todos u,v. Significado: trocar os argumentos não muda o valor (em espaços reais).
  1. Positividade:
\langle v,v\rangle \ge 0
para todo v. Significado: o “auto-produto” não é negativo.
  1. Definitude positiva:
\langle v,v\rangle = 0 \iff v = 0.
Significado: o auto-produto só é zero para o vetor nulo. Juntando (3) e (4) dizemos que \langle\cdot,\cdot\rangle é positiva-definida.
Estratégia prática na prova: normalmente você checa primeiro se a forma é bilinear e simétrica (são fáceis), depois testa \langle v,v\rangle para ver se é sempre positivo. Se achar um vetor com \langle v,v\rangle<0 ou com \langle v,v\rangle=0 e v\neq 0, já basta para concluir que não é produto interno.

Passo 3

Checando simetria. Tome u=(u_1,u_2,u_3) e v=(v_1,v_2,v_3). Calculamos
\langle u,v\rangle = u_1 v_1 + u_2 v_2 - u_3 v_3.
Se trocarmos os argumentos,
\langle v,u\rangle = v_1 u_1 + v_2 u_2 - v_3 u_3.
Como a multiplicação de escalares é comutativa, u_1 v_1 = v_1 u_1 etc., segue que
\langle u,v\rangle = \langle v,u\rangle.
Portanto a aplicação é simétrica.

Passo 4

Checando linearidade no primeiro argumento. Tomemos vetores u,w,v\in\mathbb{R}^3 e escalares \alpha,\beta\in\mathbb{R}. Escrevendo u=(u_1,u_2,u_3) e w=(w_1,w_2,w_3), temos
\alpha u + \beta w = (\alpha u_1+\beta w_1,\;\alpha u_2+\beta w_2,\;\alpha u_3+\beta w_3).
Agora
\begin{aligned} \langle \alpha u + \beta w, v\rangle &= (\alpha u_1+\beta w_1)v_1 + (\alpha u_2+\beta w_2)v_2 - (\alpha u_3+\beta w_3)v_3\\\ &= \alpha(u_1 v_1 + u_2 v_2 - u_3 v_3) + \beta(w_1 v_1 + w_2 v_2 - w_3 v_3)\\\ &= \alpha\langle u,v\rangle + \beta\langle w,v\rangle. \end{aligned}
Logo a aplicação é linear no primeiro argumento. Como já mostramos simetria, essa linearidade no primeiro argumento implica linearidade no segundo (em espaços reais), então a forma é bilinear e simétrica.

Passo 5

Checando positividade/definitude positiva. Calcule o auto-produto de um vetor v=(v_1,v_2,v_3):
\langle v,v\rangle = v_1^2 + v_2^2 - v_3^2.
Para ser positiva-definida precisamos ter \langle v,v\rangle>0 sempre que v\neq 0 e \langle 0,0\rangle=0.
Agora procuremos contraexemplos simples. Escolha v=(0,0,1). Então
\langle v,v\rangle = 0^2 + 0^2 - 1^2 = -1.
Como -1<0, a propriedade de positividade falha: o auto-produto de um vetor não-nulo deu negativo. Além disso, existe vetor não-nulo com auto-produto zero: por exemplo v=(1,0,1)
\langle v,v\rangle = 1^2 + 0^2 - 1^2 = 0,
mas v\neq 0. Portanto a condição \langle v,v\rangle=0 \iff v=0 também falha.
A conclusão lógica: como a aplicação não é positiva-definida, ela não é um produto interno, mesmo sendo simétrica e bilinear.

Passo 6

Dica rápida de prova/exame: ao ver uma forma quadrática com sinais mistos (aqui +\,+\,-), experimente primeiro vetores canônicos como (0,0,1) ou vetores da forma (a,0,a) — frequentemente conseguem refutar positividade muito rápido. Não precisa provar todas as propriedades se uma falha basta.
Força aí — já fizemos o trabalho duro (achar o contraexemplo). Vai com calma na prova: testa \langle v,v\rangle primeiro.

Resposta

Não. A aplicação não é produto interno, pois \langle(0,0,1),(0,0,1)\rangle=-1<0 (e por exemplo \langle(1,0,1),(1,0,1)\rangle=0), logo não é positiva-definida.

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