Questão 3. Em cada um dos itens abaixo verifique se as aplicações
definem um produto interno sobre o espaço vetorial
.
(c)
.
(c)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
definida em
por
é um produto interno. Informações dadas:
- O espaço vetorial é
. - A aplicação é
, onde e . - A tarefa: verificar se essa aplicação satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um produto interno.
Passo 2
Vamos recordar, passo a passo e com calma, o que é preciso checar para que uma aplicação seja um produto interno (em espaço real). São quatro propriedades principais. Vou escrever cada uma, explicar o sentido e o que significam as variáveis.
- Linearidade no primeiro argumento:
para quaisquer vetores
e escalares
.
Significado: se eu somar vetores e puxar uma constante para fora, o produto interno se comporta bem — é linear.
Significado: se eu somar vetores e puxar uma constante para fora, o produto interno se comporta bem — é linear.
- Simetria:
para todos
. Significado: trocar os argumentos não muda o valor (em espaços reais).
- Positividade:
para todo
. Significado: o “auto-produto” não é negativo.
- Definitude positiva:
Significado: o auto-produto só é zero para o vetor nulo. Juntando (3) e (4) dizemos que
é positiva-definida.
Estratégia prática na prova: normalmente você checa primeiro se a forma é bilinear e simétrica (são fáceis), depois testa
para ver se é sempre positivo. Se achar um vetor com
ou com
e
, já basta para concluir que não é produto interno.
Passo 3
Checando simetria. Tome
e
. Calculamos
Se trocarmos os argumentos,
Como a multiplicação de escalares é comutativa,
etc., segue que
Portanto a aplicação é simétrica.
Passo 4
Checando linearidade no primeiro argumento. Tomemos vetores
e escalares
. Escrevendo
e
, temos
Agora
Logo a aplicação é linear no primeiro argumento. Como já mostramos simetria, essa linearidade no primeiro argumento implica linearidade no segundo (em espaços reais), então a forma é bilinear e simétrica.
Passo 5
Checando positividade/definitude positiva. Calcule o auto-produto de um vetor
:
Para ser positiva-definida precisamos ter
sempre que
e
.
Agora procuremos contraexemplos simples. Escolha
. Então
Como
, a propriedade de positividade falha: o auto-produto de um vetor não-nulo deu negativo. Além disso, existe vetor não-nulo com auto-produto zero: por exemplo
dá
mas
. Portanto a condição
também falha.
A conclusão lógica: como a aplicação não é positiva-definida, ela não é um produto interno, mesmo sendo simétrica e bilinear.
Passo 6
Dica rápida de prova/exame: ao ver uma forma quadrática com sinais mistos (aqui
), experimente primeiro vetores canônicos como
ou vetores da forma
— frequentemente conseguem refutar positividade muito rápido. Não precisa provar todas as propriedades se uma falha basta.
Força aí — já fizemos o trabalho duro (achar o contraexemplo). Vai com calma na prova: testa
primeiro.
Resposta
Não. A aplicação não é produto interno, pois
(e por exemplo
), logo não é positiva-definida.