Questão 1 Para cada n \in \mathbb{N}, considere uma partição pontilhada do intervalo 1,2 :
1=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{i-1}<x_{i}<\cdots<x_{n}=2, x_{i}^{*} \in\left[x_{i-1}, x_{i}\right], com \Delta x=x_{i}-x_{i-1}=\frac{1}{n}. Para as somas de Riemann abaixo (nem todas são), expresse o limite \lim _{n \rightarrow \infty} S_{R}(n) em termos de uma integral:
S_{R}(n)=\sum_{i=1}^{n} x_{i} \sqrt{1+2 x_{i}} \Delta x

Passo 1

O enunciado define, para cada n, uma partição de [1,2] com \Deltax = \tfrac1n e considera a soma
S_{R}(n)=\sum_{i=1}^{n} x_{i}\,\sqrt{1+2x_{i}}\;\Delta x.
Queremos expressar
\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_{R}(n)
em termos de uma integral definida.

Passo 2

Reconhecemos que toda soma da forma
\displaystyle\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})\,\Delta x
é uma soma de Riemann para a função f no intervalo de partição. Aqui
f(x)=x\sqrt{1+2x},
o que sugere que, quando \Delta x\to0, a soma converge para
\int_{a}^{b}f(x)\,dx.

Passo 3

No nosso caso o intervalo é [a,b]=[1,2]. Logo
\lim_{n\to\infty}S_{R}(n) =\int_{1}^{2}x\sqrt{1+2x}\,dx.

Resposta

\int_{1}^{2}x\sqrt{1+2x}\,dx.

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