Questão 1 Para cada n \in \mathbb{N}, considere uma partição pontilhada do intervalo 1,2 :
1=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{i-1}<x_{i}<\cdots<x_{n}=2, x_{i}^{*} \in\left[x_{i-1}, x_{i}\right], com \Delta x=x_{i}-x_{i-1}=\frac{1}{n}. Para as somas de Riemann abaixo (nem todas são), expresse o limite \lim _{n \rightarrow \infty} S_{R}(n) em termos de uma integral:
S_{R}(n)=\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}(\Delta x)^{2}

Passo 1

O enunciado define a soma de Riemann
S_{R}(n)=\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}(\Delta x)^{2},
com \Delta x=\frac{1}{n}. O objetivo é reconhecer esse somatório em termos de uma integral definida.

Passo 2

Observe que
(\Delta x)^{2}=\Delta x\cdot\Delta x,
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S_{R}(n) =\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\,\Delta x\cdot\Delta x =\Delta x\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\,\Delta x.

Passo 3

Pela definição de soma de Riemann para f(x)=x^{2} no intervalo [1,2] temos
\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\,\Delta x \;\xrightarrow{n\to\infty}\; \int_{1}^{2}x^{2}\,dx.

Passo 4

Como \Delta x\to0 quando n\to\infty, segue
\lim_{n\to\infty}S_{R}(n) =\lim_{n\to\infty}\Bigl[\Delta x\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\,\Delta x\Bigr] =0\cdot\int_{1}^{2}x^{2}\,dx =0.

Resposta

0

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