Questão 1 Para cada n \in \mathbb{N}, considere uma partição pontilhada do intervalo 1,2 :
1=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{i-1}<x_{i}<\cdots<x_{n}=2,x_{i}^{*} \in\left[x_{i-1}, x_{i}\right], com \Delta x=x_{i}-x_{i-1}=\frac{1}{n}. Para as somas de Riemann abaixo (nem todas são), expresse o limite \lim _{n \rightarrow \infty} S_{R}(n) em termos de uma integral:
S_{R}(n)=\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}(\Delta x)^{2}
Passo 1
O enunciado define a soma de Riemann
S_{R}(n)=\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}(\Delta x)^{2},
com \Delta x=\frac{1}{n}. O objetivo é reconhecer esse somatório em termos de uma integral definida.
Passo 2
Observe que
(\Delta x)^{2}=\Delta x\cdot\Delta x,
logo
S_{R}(n) =\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\,\Delta x\cdot\Delta x =\Delta x\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\,\Delta x.
Passo 3
Pela definição de soma de Riemann para f(x)=x^{2} no intervalo [1,2] temos
\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\,\Delta x \;\xrightarrow{n\to\infty}\; \int_{1}^{2}x^{2}\,dx.