QUESTÃO 3.
Calcular o ângulo entre as retas
r:l x=3+3 t y=-6 t z=-1-2 t s:x+22=y-31=z-2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o ângulo entre duas retas em 3D. O conteúdo aqui é geometria vetorial: dadas as direções das retas, usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre vetores. Precisamos extrair os vetores diretores de cada reta e aplicar
costheta = l|vrcdotvsr||vr|;|vs|

Passo 2

Para a reta r, a equação paramétrica
x=3+3t, y=-6t, z=-1-2t
mostra que o vetor diretor é
vr = (3,,-6,,-2)
Para a reta s em forma simétrica
x+22=y-31=z-2=u,
temos
x=-2+2u, y=3+u, z=-2u,
logo o vetor diretor é
vs = (2,,1,,-2)

Passo 3

A fórmula do cosseno do ângulo entre as direções é
costheta = l|vrcdotvsr||vr|;|vs|

Passo 4

Calculamos o produto escalar e as normas:
vrcdotvs = 3cdot2 + (-6)cdot1 + (-2)cdot(-2) = 6 -6 +4 = 4,
|vr| = raiz3^2 + (-6)^2 + (-2)^2 = raiz9+36+4 = 7,
|vs| = raiz2^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz4+1+4 = 3

Passo 5

Substituindo na fórmula:
costheta = |4|7cdot3 = 421
Portanto,
theta = arccos!l(421r)

Resposta

theta = arccos!l(tfrac421r).

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