QUESTÃO 2. Dados os pontos A(1,2,3), B(0,3,-2) e C(1,1,1) pertencentes ao plano alpha, determine: OBS: Escolha o ponto A.
Equação Geral (Cartesiana) do plano alpha.

Passo 1

Beleza! A gente tem três pontos no espaço: A(1, 2, 3), B(0, 3, -2) e C(1, 1, 1). Esses três pontos estão todos no mesmo plano, que chamamos de plano α. Nosso objetivo aqui é encontrar a equação geral desse plano α. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente relacionados a planos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, para achar a equação do plano, a gente precisa de um vetor normal ao plano. O vetor normal é perpendicular ao plano e nos ajuda a definir sua orientação no espaço. Para encontrar esse vetor, vamos usar os pontos A, B e C para formar dois vetores no plano e depois calcular o produto vetorial desses vetores, que nos dá o vetor normal.

Passo 3

Vamos formar dois vetores no plano α usando os pontos dados:
  • Vetor AB: Subtraindo as coordenadas de A das coordenadas de B.
AB = B - A = (0-1, 3-2, -2-3) = (-1, 1, -5)
  • Vetor AC: Subtraindo as coordenadas de A das coordenadas de C.
AC = C - A = (1-1, 1-2, 1-3) = (0, -1, -2)

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores para encontrar o vetor normal n:
n = AB times AC = i & j & k -1 & 1 & -5 0 & -1 & -2
Calculando o determinante:
n = i(1 cdot (-2) - (-5) cdot (-1)) - j((-1) cdot (-2) - (-5) cdot 0) + k((-1) cdot (-1) - 1 cdot 0)
n = i(-2 - 5) - j(2 - 0) + k(1 - 0)
n = -7i - 2j + 1k Rightarrow n = (-7, -2, 1)

Passo 5

Com o vetor normal n = (-7, -2, 1) e sabendo que o plano passa pelo ponto A(1, 2, 3), podemos usar a equação geral do plano:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde (a, b, c) são as componentes do vetor normal e (x0, y0, z0) são as coordenadas do ponto A.
Substituindo os valores:
-7(x - 1) - 2(y - 2) + 1(z - 3) = 0

Passo 6

Vamos simplificar essa equação para deixá-la na forma geral:
-7x + 7 - 2y + 4 + z - 3 = 0
Juntando os termos semelhantes:
-7x - 2y + z + 8 = 0
Para deixar com coeficientes positivos, podemos multiplicar tudo por -1:
7x + 2y - z - 8 = 0

Resposta

A equação geral do plano α é:
7x + 2y - z - 8 = 0

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