QUESTÃO 4.
Determinar as equações paramétricas, e geral do plano que passa por A(1,2,5) e B(3,3,5) e é paralelo a v=(1,1,2).

Passo 1

O enunciado pede as equações paramétricas e a equação geral do plano que passa por A(1,2,5) e B(3,3,5) e é paralelo ao vetor vec v=(1,1,2). O conteúdo que usamos aqui é representação paramétrica de plano, produto vetorial para achar a normal e a forma geral nx(x-x0)+ny(y-y0)+nz(z-z0)=0.

Passo 2

Para obter a representação paramétrica de um plano precisamos de um ponto e de dois vetores diretores. Já temos um ponto em A. Um vetor diretor vem de AB:
AB = B - A = (3-1,;3-2,;5-5) = (2,1,0)
O outro vetor diretor é vec v=(1,1,2), pois o plano é paralelo a ele.

Passo 3

Chamando os parâmetros de s e t, escrevemos o ponto genérico P(x,y,z) do plano como
P = A + s,AB + t,vec v
ou seja
(x,y,z) = (1,2,5) + s,(2,1,0) + t,(1,1,2)
Isso gera as equações paramétricas:
x = 1 + 2s + t, y = 2 + s + t, z = 5 + 0cdot s + 2t

Passo 4

Para achar a equação geral do plano precisamos da normal, que é o produto vetorial de AB e vec v:
n = AB times vec v = i & j & k 2 & 1 & 0 1 & 1 & 2 = (2cdot2 - 0cdot1),i - (2cdot2 - 0cdot1),j + (2cdot1 - 1cdot1),k = (4,,-4,;1)

Passo 5

Com n=(4,-4,1) e o ponto A(1,2,5), a forma geral é
4(x-1) - 4(y-2) + 1(z-5) = 0
Desenvolvendo:
4x - 4 - 4y + 8 + z - 5 = 0 Longrightarrow 4x - 4y + z -1 = 0

Resposta

Equações paramétricas:
x = 1 + 2s + t, y = 2 + s + t, z = 5 + 2t
Equação geral:
4x - 4y + z - 1 = 0

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