QUESTÃO 4.
Determinar as equações paramétricas, e geral do plano que passa por e e é paralelo a .
Passo 1
O enunciado pede as equações paramétricas e a equação geral do plano que passa por e e é paralelo ao vetor . O conteúdo que usamos aqui é representação paramétrica de plano, produto vetorial para achar a normal e a forma geral .
Passo 2
Para obter a representação paramétrica de um plano precisamos de um ponto e de dois vetores diretores. Já temos um ponto em . Um vetor diretor vem de :
AB = B - A = (3-1,;3-2,;5-5) = (2,1,0)
O outro vetor diretor é vec v=(1,1,2), pois o plano é paralelo a ele.
Passo 3
Chamando os parâmetros de s e t, escrevemos o ponto genérico P(x,y,z) do plano como
P = A + s,AB + t,vec v
ou seja
(x,y,z) = (1,2,5) + s,(2,1,0) + t,(1,1,2)
Isso gera as equações paramétricas:
x = 1 + 2s + t, y = 2 + s + t, z = 5 + 0cdot s + 2t
Passo 4
Para achar a equação geral do plano precisamos da normal, que é o produto vetorial de AB e vec v:
n = AB times vec v = i & j & k 2 & 1 & 0 1 & 1 & 2 = (2cdot2 - 0cdot1),i - (2cdot2 - 0cdot1),j + (2cdot1 - 1cdot1),k = (4,,-4,;1)
Passo 5
Com n=(4,-4,1) e o ponto A(1,2,5), a forma geral é