Questão 3: Calcular as integrais:
\int \frac{e^{x}}{\left(1-e^{x}\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{e^{x}}{\bigl(1-e^{x}\bigr)^{2}}\,dx
O conteúdo principal aqui é integração por substituição, pois vemos e^{x} junto com uma função de 1-e^{x}.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 1 - e^{x}.
Então
du = -e^{x}\,dx \quad\Longrightarrow\quad e^{x}\,dx = -\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int \frac{e^{x}}{\bigl(1-e^{x}\bigr)^{2}}\,dx = \int \frac{-\,du}{u^{2}} = -\int u^{-2}\,du.
Agora usamos a fórmula \int u^{n}\,du = u^{n+1}/(n+1) para n=-2.

Passo 4

Integrando, temos
-\int u^{-2}\,du = -\frac{u^{-1}}{-1} + C = \frac{1}{u} + C.
Voltando à variável x, fica
\frac{1}{u} + C = \frac{1}{1-e^{x}} + C.

Resposta

\int \frac{e^{x}}{\bigl(1-e^{x}\bigr)^{2}}\,dx = \frac{1}{1-e^{x}} + C.

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