Resolva as equaçōes quadráticas usando Bhaskara e represente graficamente as funçōes.
25 x^{2}=20 x-4

Passo 1

Resumindo: temos a equação quadrática
25x^{2} = 20x - 4
e precisamos de duas coisas: (1) encontrar as raízes usando a fórmula de Bhaskara; (2) esboçar o gráfico da função quadrática associada. O conteúdo é o estudo de equações do segundo grau e suas parábolas.

Passo 2

Primeiro, colocamos tudo na forma padrão ax^{2}+bx+c=0. Subtraindo 20x e somando 4 de ambos os lados, obtemos
25x^{2}-20x+4=0.
Daí identificamos os coeficientes:
a = 25,\quad b = -20,\quad c = 4.

Passo 3

Aplicamos a fórmula de Bhaskara, em que o discriminante é
\Delta = b^{2}-4ac = (-20)^{2}-4\cdot25\cdot4 = 400 - 400 = 0.
Como \Delta=0, há raiz dupla.

Passo 4

A raiz é
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-20)\pm0}{2\cdot25} = \frac{20}{50} = 0{,}4.
Portanto, a única solução (raiz dupla) é x=0{,}4.

Passo 5

Para esboçar o gráfico, definimos a função
f(x)=25x^{2}-20x+4.
Como a=25>0, a parábola abre para cima. A raiz dupla em x=0{,}4 indica que o vértice toca o eixo x. Calculamos o vértice:
x_{v} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-20}{2\cdot25} = 0{,}4,
e
f(x_{v}) = f(0{,}4) = 25(0{,}4)^{2}-20(0{,}4)+4 = 4 - 8 + 4 = 0.
Logo, o vértice é (0{,}4,0).

Passo 6

Esboço do gráfico de f(x):
  • A parábola abre para cima.
  • Vértice em (0{,}4,0), que é também o único ponto de interseção com o eixo x.
  • Para um ponto extra, por exemplo, f(0)=4, então cruza o eixo y em (0,4).
Gráfico aproximado:
\ \quad y
\ \;\;\;\;\uparrow
\ \;\;\;\;\;|
\ \;\;4\;|\;\cdot ← ponto (0,4)
\ \;\;\;\;\;|
\ \;\;\;\;\;|
\ \;\;\;\;\;| \big/\!\!\!\!\backslash
\ \;\;\;\;\;|\;\;/\!\!\!\!\backslash
\ \;\;\;\;\;0\;———\bullet———\rightarrow x
\ \;\;\;\;\;\;\;\;0{,}4

Resposta

A solução da equação é
x = 0{,}4
(A raiz dupla). O gráfico de f(x)=25x^{2}-20x+4 é uma parábola que abre para cima, com vértice em (0{,}4,0), cruzando também o eixo y em (0,4).

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