Questão 2: Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa limitação juntos! O enunciado pede para calcular o limite de
quando
tende a menos infinito (
).
Matéria envolvida: Cálculo de limites, especialmente envolvendo funções com raízes quadradas.
O que precisamos: Entender como simplificar expressões com raízes quadradas quando
tende a infinito (positivo ou negativo).
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão:
.
Quando
tende a menos infinito,
é um número muito grande negativo. Isso significa que
será um número muito grande positivo, já que o quadrado de um número negativo é positivo.
Então,
vai se aproximar de
, que é igual a
. Como
é negativo,
.
Passo 3
Vamos reescrever a expressão usando essa aproximação:
Mas isso é apenas uma aproximação inicial. Precisamos ser mais precisos para encontrar o limite exato.
Passo 4
Para uma análise mais precisa, vamos fatorar
dentro da raiz:
Como
tende a menos infinito,
, então:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na expressão original:
Passo 6
Para simplificar
, podemos usar o desenvolvimento em série de Taylor para
quando
é pequeno:
Aqui,
:
Passo 7
Substituindo essa aproximação de volta na expressão:
Passo 8
Agora, avaliamos o limite de
quando
:
Resposta
O limite é 0.