Questão 2: Calcule:
lim x -infty(x+raizx^2-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa limitação juntos! O enunciado pede para calcular o limite de x + raizx^2 - 1 quando x tende a menos infinito ( x -infty ).
Matéria envolvida: Cálculo de limites, especialmente envolvendo funções com raízes quadradas.
O que precisamos: Entender como simplificar expressões com raízes quadradas quando x tende a infinito (positivo ou negativo).

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão: x + raizx^2 - 1 .
Quando x tende a menos infinito, x é um número muito grande negativo. Isso significa que x^2 será um número muito grande positivo, já que o quadrado de um número negativo é positivo.
Então, raizx^2 - 1 vai se aproximar de raizx^2 , que é igual a |x| . Como x é negativo, |x| = -x .

Passo 3

Vamos reescrever a expressão usando essa aproximação:
x + raizx^2 - 1 approx x + (-x) = 0
Mas isso é apenas uma aproximação inicial. Precisamos ser mais precisos para encontrar o limite exato.

Passo 4

Para uma análise mais precisa, vamos fatorar x^2 dentro da raiz:
raizx^2 - 1 = raizx^2(1 - 1x^2) = |x|raiz1 - 1x^2
Como x tende a menos infinito, |x| = -x , então:
raizx^2 - 1 = -x raiz1 - 1x^2

Passo 5

Agora, substituímos de volta na expressão original:
x + raizx^2 - 1 = x - x raiz1 - 1x^2 = x (1 - raiz1 - 1x^2)

Passo 6

Para simplificar raiz1 - 1x^2 , podemos usar o desenvolvimento em série de Taylor para raiz1 + y quando y é pequeno:
raiz1 + y approx 1 + y2
Aqui, y = -1x^2 :
raiz1 - 1x^2 approx 1 - 12x^2

Passo 7

Substituindo essa aproximação de volta na expressão:
x (1 - (1 - 12x^2)) = x (12x^2) = 12x

Passo 8

Agora, avaliamos o limite de 12x quando x -infty :
limx -infty 12x = 0

Resposta

O limite é 0.

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