Utilize, caso necessário, a regra de L’Hôpital para obter:
lim x 0(1x^2-1x^2 sec x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0l(1x^2-1x^2sec xr)
Aqui vamos usar manipulação algébrica de funções trigonométricas e, em seguida, a regra de L’Hôpital para resolver a forma indeterminada.

Passo 2

Observe que sec x = 1/cos x. Logo,
1x^2-1x^2sec x =1x^2-cos xx^2 =1-cos xx^2

Passo 3

Ao fazermos xto0, tanto 1-cos x quanto x^2 vão a zero, configurando uma indeterminação do tipo 0/0. Assim, podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 4

Derivando numerador e denominador em relação a x, obtemos
ddx(1-cos x)=sin x, ddx(x^2)=2x
Pela regra de L’Hôpital,
limxto01-cos xx^2 =limxto0sin x2x

Passo 5

É sabido que limxto0sin xx=1. Portanto,
limxto0sin x2x =12limxto0sin xx =12cdot1 =12

Resposta

12

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