Utilize, caso necessário, a regra de L’Hôpital para obter:
lim x 1(1ln x-1x-1)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
limxto1l(1ln x-1x-1r).
Note que isoladamente 1ln x e 1x-1 tendem a infinito quando xto1, gerando uma indeterminação do tipo infty-infty. Para resolver, vamos primeiro juntar em uma única fração e obter uma forma tfrac00, em que podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Combine as frações em um único quociente:
1ln x-1x-1 =x-1-ln xln x,(x-1)
Assim o limite vira
limxto1x-1-ln xln x,(x-1)

Passo 3

Verificamos que
x-1-ln x;longrightarrow;0 e ln x,(x-1);longrightarrow;0 quando xto1,
portanto temos tfrac00 e podemos usar L’Hôpital. Seja
f(x)=x-1-ln x, f'(x)=1-1x,
g(x)=ln x,(x-1), g'(x)=x-1x+ln x
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limxto1x-1-ln xln x,(x-1) =limxto11-tfrac1xtfracx-1x+ln x =limxto1tfracx-1xtfracx-1x+ln x

Passo 4

Ao substituir x=1 ainda daria 0/0, então aplicamos L’Hôpital pela segunda vez. Diferenciando numerador e denominador:
ddxl(tfracx-1xr)=1x^2, ddxl(tfracx-1x+ln xr) =1x^2+1x
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limxto1tfracx-1xtfracx-1x+ln x =limxto1tfrac1x^2tfrac1x^2+tfrac1x =11+1 =12

Resposta

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