Questão 5. Calcule a integral de linha do campo
ao longo do círculo
, orientado no sentido anti-horário.
é conservativo em
?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício pede. A gente tem o campo
e quer calcular a integral de linha
ao longo do círculo
no sentido anti-horário.
Além disso, o exercício pergunta se é conservativo em .
Além disso, o exercício pergunta se
Conteúdo principal:
- Definição e cálculo de integral de linha de campos vetoriais.
- Critério de campo conservativo (
, condição e domínio simplesmente conectado).
O que vamos precisar:
- Parametrizar o círculo;
- Substituir em
e integrar de a ; - Verificar se existe potencial (ou se a integral em laço fechado dá zero).
Passo 2
Primeiro, parametrizamos
. Num círculo de raio 3, a parametrização natural é
Daí
E lembramos que a integral de linha se escreve
Passo 3
Antes de substituir, simplificamos
usando
:
Na curva
, isso vira
Passo 4
Substituindo na integral e usando
:
Agora usamos as identidades
.
Então
Então
Passo 5
Para ver se
é conservativo em :
- Calcula-se
e e vê que são iguais sempre que (ou seja, o campo é irrotacional fora da origem). - Mas não é simplesmente conectado (tem um “buraco” em 0), e a integral em qualquer laço em volta da origem deu
.
Logo não existe potencial global, e
não é conservativo em .
Resposta
Integral de linha =
.
O campo não é conservativo em .
O campo