Questão 5. Calcule a integral de linha do campo ao longo do círculo , orientado no sentido anti-horário. é conservativo em ?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede. A gente tem o campo
e quer calcular a integral de linha
ao longo do círculo no sentido anti-horário.
Além disso, o exercício pergunta se é conservativo em .
Conteúdo principal:
  • Definição e cálculo de integral de linha de campos vetoriais.
  • Critério de campo conservativo ( , condição e domínio simplesmente conectado).
O que vamos precisar:
  1. Parametrizar o círculo;
  2. Substituir em e integrar de a ;
  3. Verificar se existe potencial (ou se a integral em laço fechado dá zero).

Passo 2

Primeiro, parametrizamos C. Num círculo de raio 3, a parametrização natural é
x(t)=3cos t, y(t)=3sin t, tin[0,2pi]
Daí
dx=-3sin t,dt, dy=3cos t,dt
E lembramos que a integral de linha se escreve
ointC Gcdot d r =integral0^2pil(P(x(t),y(t)),x'(t)+Q(x(t),y(t)),y'(t)r),dt

Passo 3

Antes de substituir, simplificamos G usando r^2=x^2+y^2:
P=yx^2 - y + y^3r^2 =y,(x^2+y^2)-yr^2 =y,(r^2-1)r^2 =y-yr^2,
Q=x^3 + x + xy^2r^2 =x,(x^2+y^2+1)r^2 =x+xr^2
Na curva r^2=9, isso vira
P=8y9, Q=10x9

Passo 4

Substituindo na integral e usando x=3cos t,;y=3sin t:
ointC Gcdot d r =integral0^2pil(tfrac8(3sin t)9(-3sin t) +tfrac10(3cos t)9(3cos t)r),dt =integral0^2pil(-8sin^2t+10cos^2tr),dt
Agora usamos as identidades
integral0^2pisin^2t,dt=integral0^2picos^2t,dt=pi.
Então
ointC Gcdot d r =-8pi+10pi=2pi

Passo 5

Para ver se é conservativo em :
  1. Calcula-se e e vê que são iguais sempre que (ou seja, o campo é irrotacional fora da origem).
  2. Mas não é simplesmente conectado (tem um “buraco” em 0), e a integral em qualquer laço em volta da origem deu .
Logo não existe potencial global, e não é conservativo em .

Resposta

Integral de linha = .
O campo não é conservativo em .

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