Questão 2. Calcule o fluxo do campo vetorial vec{F}(x, y, z) através da superfície sigma nos seguntes casos:
vec{F}(x, y, z)=x^{2} \vec{i}+y^{2} \vec{j}+z \vec{k} e sigma a superfície z=x^{2}+y^{2} e z \leq 1, na direção da normal unitária vec{n} com componente z>0;

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo
\vec{F}(x,y,z)=x^{2}\,\vec{i}+y^{2}\,\vec{j}+z\,\vec{k}
através da superfície \sigma dada por
z = x^{2}+y^{2},\quad z\le1,
orientada pela normal unitária com componente z>0.
O conteúdo aqui é o cálculo de integral de superfície (fluxo) para um gráfico z=f(x,y).

Passo 2

Para uma superfície definida por z=f(x,y) orientada “para cima”, usa-se a fórmula
\iint_{\sigma}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS =\iint_{D}\bigl(-P\,f_x - Q\,f_y + R\bigr)\,dA,
onde \vec{F}=(P,Q,R) e D é a região projetada no plano xy.

Passo 3

Aqui P=x^2, Q=y^2, R=z e f(x,y)=x^2+y^2, logo
f_x=2x,\qquad f_y=2y.
O integrando fica
-\,x^2\cdot2x \;-\;y^2\cdot2y \;+\;z = -2x^3-2y^3 + (x^2+y^2),
e a região D é o disco x^2+y^2\le1.

Passo 4

Os termos em x^3 e y^3 são ímpares, então
\iint_{D}(-2x^3-2y^3)\,dA = 0.
Restou
\iint_{D}(x^2+y^2)\,dA.
Em coordenadas polares (x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta) e dA=r\,dr\,d\theta,
\iint_{D}(x^2+y^2)\,dA =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}r^2\,(r\,dr)\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}r^3\,dr =2\pi\cdot\frac{1}{4} =\frac{\pi}{2}.

Resposta

O fluxo de \vec{F} através de \sigma é \displaystyle \frac{\pi}{2}.

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