Questão 1. Calcule a área e a massa das seguintes superfícies:
z=x y, 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4, sendo a densidade superficial \delta(x, y, z)=3 z.

Passo 1

O enunciado pede a área e a massa da superfície definida por
S:\;z = x y,\quad 1 \le x^2+y^2\le 4,
com densidade superficial \delta(x,y,z)=3z.
Conteúdo: cálculo de área de superfície z=f(x,y) via
dS = \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}\,dA
e integral de superfície de uma densidade escalar. Vamos parametrizar em (x,y) e usar coordenadas polares para o domínio.

Passo 2

Como f(x,y)=xy temos
f_x = y,\quad f_y = x
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dS = \sqrt{1 + y^2 + x^2}\;dA.
O domínio no plano xy é o anel D=\{(x,y)\mid1\le x^2+y^2\le4\}. Em coordenadas polares
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta,\quad \sqrt{1+x^2+y^2}=\sqrt{1+r^2}.

Passo 3

Área da superfície:
A = \iint_{D} \sqrt{1+x^2+y^2}\;dA = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{1}^{2} \sqrt{1+r^2}\;r\,dr\,d\theta.
Integramos primeiro em r. Com u=1+r^2, du=2r\,dr, r\,dr=du/2, e quando r=1\to u=2, r=2\to u=5:
\int_{1}^{2} r\sqrt{1+r^2}\,dr = \frac12\int_{2}^{5} u^{1/2}\,du = \frac12\cdot\frac{2}{3}\Bigl[u^{3/2}\Bigr]_{2}^{5} = \frac{1}{3}\bigl(5^{3/2}-2^{3/2}\bigr).
Multiplicando por \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi temos
A = 2\pi\cdot\frac{1}{3}\bigl(5\sqrt5-2\sqrt2\bigr) = \frac{2\pi}{3}\bigl(5\sqrt5 - 2\sqrt2\bigr).

Passo 4

Massa da superfície:
M = \iint_{S}\delta\,dS = \iint_{D}3z\,\sqrt{1+x^2+y^2}\;dA = 3\iint_{D}(xy)\sqrt{1+r^2}\;r\,dr\,d\theta.
Em polares xy = r^2\cos\theta\sin\theta = \tfrac{r^2}{2}\sin2\theta, então
M = \frac{3}{2} \int_{0}^{2\pi}\sin2\theta\,d\theta \int_{1}^{2}r^3\sqrt{1+r^2}\,dr.
Mas \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sin2\theta\,d\theta=0, logo
M = 0.

Resposta

Área:
A = \frac{2\pi}{3}\bigl(5\sqrt5 - 2\sqrt2\bigr).
Massa:
M = 0.

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