Questão 2. Calcule o fluxo do campo vetorial
através da superfície
nos seguntes casos:
e
a superfície
e
, na direção da normal unitária
com componente
;
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através da superfície
com
, usando a normal unitária que aponta para baixo (com componente
). O conteúdo é integral de fluxo de campo sobre um grafo, e vamos usar a fórmula de superfície para gráficos
.
Passo 2
Para
, a área orientada para cima vem dada por
Como queremos a normal com componente
, invertemos o sinal e obtemos
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
portanto
Passo 4
O produto escalar é
Passo 5
O domínio de integração em
é o disco unitário
Então o fluxo é
Passo 6
Separamos em três integrais:
-
. -
. -
.
Passo 7
Para
, note que
. Logo
Passo 8
Para
, a função
é ímpar em
e o domínio é simétrico, logo
Passo 9
Para
, usamos coordenadas polares:
Passo 10
Somando tudo,