Questão 2. Calcule o fluxo do campo vetorial vec{F}(x, y, z) através da superfície sigma nos seguntes casos:
vec{F}(x, y, z)=x \vec{i}-\left(\mathrm{e}^{x^{2}}+y\right) \vec{j}+\mathrm{e}^{x^{2}+y^{2}} \vec{k} e sigma a superfície z=x^{2}+y^{2} e z \leq 1, na direção da normal unitária vec{n} com componente z<0;

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \vec{F}(x,y,z)=x\,\vec{i} -\bigl(e^{x^2}+y\bigr)\,\vec{j} + e^{x^2+y^2}\,\vec{k} através da superfície \sigma\colon z = x^2+y^2 com z\le1, usando a normal unitária que aponta para baixo (com componente z<0). O conteúdo é integral de fluxo de campo sobre um grafo, e vamos usar a fórmula de superfície para gráficos z=f(x,y).

Passo 2

Para z=f(x,y)=x^2+y^2, a área orientada para cima vem dada por
d\vec{S}_\uparrow = \bigl(-f_x,\,-f_y,\,1\bigr)\,dA.
Como queremos a normal com componente z<0, invertemos o sinal e obtemos
d\vec{S} = \bigl(f_x,\,f_y,\,-1\bigr)\,dA.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
f_x = 2x, \quad f_y = 2y,
portanto
d\vec{S} = \bigl(2x,\,2y,\,-1\bigr)\,dA.

Passo 4

O produto escalar é
\vec{F}\cdot d\vec{S} = \bigl(x,\,-(e^{x^2}+y),\,e^{x^2+y^2}\bigr)\cdot\bigl(2x,\,2y,\,-1\bigr)\,dA = \bigl(2x^2 -2y\,e^{x^2} -2y^2 - e^{x^2+y^2}\bigr)\,dA.

Passo 5

O domínio de integração em (x,y) é o disco unitário
D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le1\}.
Então o fluxo é
\iint_D \bigl(2x^2 -2y\,e^{x^2} -2y^2 - e^{x^2+y^2}\bigr)\,dA.

Passo 6

Separamos em três integrais:
  1. I_1= \iint_D (2x^2 -2y^2)\,dA.
  2. I_2= \iint_D (-2y\,e^{x^2})\,dA.
  3. I_3= \iint_D \bigl(-e^{x^2+y^2}\bigr)\,dA.

Passo 7

Para I_1, note que \displaystyle\int_D x^2\,dA=\int_D y^2\,dA=\tfrac\pi4. Logo
I_1=2\!\int_D x^2\,dA \;-\;2\!\int_D y^2\,dA =2\cdot\frac\pi4-2\cdot\frac\pi4=0.

Passo 8

Para I_2, a função y\,e^{x^2} é ímpar em y e o domínio é simétrico, logo
I_2=0.

Passo 9

Para I_3, usamos coordenadas polares:
I_3=-\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1} e^{r^2}\,r\,dr\,d\theta =-2\pi\int_{0}^{1} r\,e^{r^2}\,dr =-\pi\bigl(e^{1}-e^{0}\bigr) =-\pi\,(e-1).

Passo 10

Somando tudo,
\text{fluxo} =I_1+I_2+I_3=0+0-\pi\,(e-1) =\pi\,(1-e).

Resposta

\displaystyle \pi\,(1-e)

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