Questão 8) Calcule a integral de
, onde
é a região delimita da pela circunferência centrada na origem de raio 3 e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a região delimitada pela circunferência centrada na origem de raio
com
. Em outras palavras:
- A região
é o semidisco superior definido por
- A integral a calcular é a área de
ponderada pela função .
Passo 2
Vamos entender bem a região
. Ela contém todos os pontos
tais que:
Isto é o disco de raio
cortado pela reta
, ficando apenas a metade superior. Observe que essa região é simétrica em relação ao eixo
: se
então
.
Passo 3
Agora uma ideia-chave (muito útil em prova): se uma região é simétrica em relação ao eixo
e a função a integrar é ímpar em
(isto é,
), então a integral sobre essa região vale zero. Explico com um exemplo simples:
- No caso unidimensional,
porque para cada
o valor em
é o oposto, então se somam a zero.
- Aqui a função integranda é
. Note que ela é ímpar em , pois
Passo 4
Aplicando a ideia ao nosso caso: para cada ponto
há o ponto
, e os contributos de
e
se cancelam. Mais formalmente, podemos escrever
e, por simetria em
,
Portanto a integral vale
.
Passo 5
(Se preferir ver pelo método direto em coordenadas polares para confirmar) usar polar:
,
,
. Para o semidisco superior os parâmetros são
e
. Então
Calcule a integral radial:
Logo
confirmando o resultado por cálculo explícito.