Questão 8) Calcule a integral de \iint_{R} 5 x d y d x, onde R é a região delimita da pela circunferência centrada na origem de raio 3 e y \geq 0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} 5x\,dy\,dx,
onde R é a região delimitada pela circunferência centrada na origem de raio 3 com y\ge 0. Em outras palavras:
  • A região R é o semidisco superior definido por
x^{2}+y^{2}\le 9,\qquad y\ge 0.
  • A integral a calcular é a área de R ponderada pela função 5x.

Passo 2

Vamos entender bem a região R. Ela contém todos os pontos (x,y) tais que:
x^{2}+y^{2}\le 9\quad\text{e}\quad y\ge 0.
Isto é o disco de raio 3 cortado pela reta y=0, ficando apenas a metade superior. Observe que essa região é simétrica em relação ao eixo y: se (x,y)\in R então (-x,y)\in R.

Passo 3

Agora uma ideia-chave (muito útil em prova): se uma região é simétrica em relação ao eixo y e a função a integrar é ímpar em x (isto é, f(-x,y)=-f(x,y)), então a integral sobre essa região vale zero. Explico com um exemplo simples:
  • No caso unidimensional,
\int_{-a}^{a} x\,dx = 0,
porque para cada x>0 o valor em -x é o oposto, então se somam a zero.
  • Aqui a função integranda é 5x. Note que ela é ímpar em x, pois
5(-x) = -5x.

Passo 4

Aplicando a ideia ao nosso caso: para cada ponto (x,y)\in R há o ponto (-x,y)\in R, e os contributos de 5x e 5(-x) se cancelam. Mais formalmente, podemos escrever
\iint_{R} 5x\,dA = 5\iint_{R} x\,dA,
e, por simetria em x,
\iint_{R} x\,dA = 0.
Portanto a integral vale 0.

Passo 5

(Se preferir ver pelo método direto em coordenadas polares para confirmar) usar polar: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, dA=r\,dr\,d\theta. Para o semidisco superior os parâmetros são r\in[0,3] e \theta\in[0,\pi]. Então
\iint_{R} 5x\,dA = \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{3} 5(r\cos\theta)\,r\,dr\,d\theta =5\int_{0}^{\pi}\cos\theta\left(\int_{0}^{3} r^{2}dr\right)d\theta.
Calcule a integral radial:
\int_{0}^{3} r^{2}dr = \left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{3}=\frac{27}{3}=9.
Logo
\iint_{R} 5x\,dA =5\cdot 9\int_{0}^{\pi}\cos\theta\,d\theta=45\big[\sin\theta\big]_{0}^{\pi}=45(0-0)=0,
confirmando o resultado por cálculo explícito.

Resposta

0

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