1^ a Questão

Lembrando que e^x=sumn=0^infty x^nn! no intervalo de convergência de (-infty,+infty), calcule o valor aproximado de integral-1^1 e^-x^2 d x, considerando e^x=sumn=0^infty x^nn! cong 1+x+x^22!+x^33!.
(a) 0
(b) 2635
(c) 73
(d) 5235
(e) -2635

Passo 1

Vamos lá! A gente tem que calcular a integral de e^-x^2 de -1 a 1. O problema quer que a gente use a aproximação da série de Taylor de e^x , que é e^x approx 1 + x + x^22! + x^33! . Então, vamos usar essa aproximação para facilitar o cálculo da integral.

Passo 2

Primeiro, precisamos adaptar a série de e^x para e^-x^2 . Para isso, substituímos x por -x^2 na aproximação:
e^-x^2 approx 1 + (-x^2) + (-x^2)^22! + (-x^2)^33!
Simplificando os termos:
e^-x^2 approx 1 - x^2 + x^42 - x^66

Passo 3

Agora, vamos integrar essa expressão de -1 a 1:
integral-1^1 e^-x^2 , dx approx integral-1^1 (1 - x^2 + x^42 - x^66) dx

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. integral-1^1 1 , dx = 2
  2. integral-1^1 (-x^2) , dx = -23
  3. integral-1^1 x^42 , dx = 25 times 12 = 15
  4. integral-1^1 (-x^66) , dx = -27 times 16 = -121

Passo 5

Agora, somamos todos os resultados:
2 - 23 + 15 - 121
Para facilitar, vamos colocar tudo com o mesmo denominador:
2 = 4221, -23 = -1421, 15 = 4.221, -121 = -121
Somando:
4221 - 1421 + 4.221 - 121 = 5235

Resposta

A aproximação do valor da integral é 5235. Portanto, a alternativa correta é a (d) 5235.

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