Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
ly1^prime=3 y1+2 y2 y2^prime=2 y1+3 y2 y1(0)=7, y2(0)=7

Passo 1

Estamos lidando com um sistema linear de equações diferenciais de primeira ordem, dado por
y1'=3y1+2y2 y2'=2y1+3y2
com condições iniciais y1(0)=7 e y2(0)=7. O conteúdo é resolução de sistemas autônomos y'=Ay via valores próprios e vetores próprios.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma matricial y'=Ay, onde
A=3 & 2 2 & 3,
e y=(y1,y2)^T.

Passo 3

Para encontrar os valores próprios de A, resolvemos
det(A-lambda I)=det3-lambda & 2 2 & 3-lambda=(3-lambda)^2-4=0
Isso dá (3-lambda)^2=4, ou seja, 3-lambda=pm2, resultando em lambda1=5 e lambda2=1.

Passo 4

Para cada valor próprio calculamos o vetor próprio:
Para lambda1=5, resolvemos
(A-5I)v=0implies-2 & 2 2 & -2v1v2=0,
que leva a v1=v2. Tomamos v^(1)=(1,1)^T.
Para lambda2=1, temos
(A-I)w=0implies2 & 2 2 & 2w1w2=0,
levando a w1=-w2. Escolhemos w^(2)=(1,-1)^T.

Passo 5

A solução geral do sistema é combinação linear das soluções próprias:
y(t)=C1e^5tv^(1)+C2e^tw^(2) = C1e^5t11+C2e^t1-1

Passo 6

Aplicamos as condições iniciais em t=0:
y1(0)=C1+C2=7, y2(0)=C1-C2=7
Somando e subtraindo, achamos C1=7 e C2=0.

Passo 7

Logo a solução específica do problema de valor inicial é obtida substituindo C1 e C2 na solução geral.

Resposta

[\n y_{1}(t)=7e^{5t},\quad y_{2}(t)=7e^{5t}.\n]

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