Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
Passo 1
Estamos lidando com um sistema linear de equações diferenciais de primeira ordem, dado por
com condições iniciais
y1(0)=7 e
y2(0)=7 . O conteúdo é resolução de sistemas autônomos
y'=Ay via valores próprios e vetores próprios.
Passo 2
Escrevemos o sistema na forma matricial
y'=Ay , onde
e
y=(y1,y2)^T .
Passo 3
Para encontrar os valores próprios de
A , resolvemos
Isso dá
(3-lambda)^2=4 , ou seja,
3-lambda=pm2 , resultando em
lambda1=5 e
lambda2=1 .
Passo 4
Para cada valor próprio calculamos o vetor próprio:
Paralambda1=5 , resolvemos
Para
que leva a
v1=v2 . Tomamos
v^(1)=(1,1)^T .
Paralambda2=1 , temos
Para
levando a
w1=-w2 . Escolhemos
w^(2)=(1,-1)^T .
Passo 5
A solução geral do sistema é combinação linear das soluções próprias:
Passo 6
Aplicamos as condições iniciais em
t=0 :
Somando e subtraindo, achamos
C1=7 e
C2=0 .
Passo 7
Logo a solução específica do problema de valor inicial é obtida substituindo
C1 e
C2 na solução geral.
Resposta
[\n y_{1}(t)=7e^{5t},\quad y_{2}(t)=7e^{5t}.\n]