Questão 1. (1.0) Calcule, caso exista, o seguinte limite \lim _{x \rightarrow 0} \frac{3-\sqrt{9-x}}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to0}\frac{3-\sqrt{9-x}}{x}.
O conteúdo envolvido é cálculo de limites com forma indeterminada e uso de racionalização para simplificar a expressão.

Passo 2

Ao tentar substituição direta em x=0 temos
3-\sqrt{9-0}=3-3=0 \quad\text{e}\quad x=0,
logo a forma é \tfrac{0}{0}, indeterminada, e precisamos manipular algebricamente.

Passo 3

Racionalizamos o numerador multiplicando por seu conjugado:
\frac{3-\sqrt{9-x}}{x} \;\cdot\; \frac{3+\sqrt{9-x}}{3+\sqrt{9-x}} = \frac{(3-\sqrt{9-x})(3+\sqrt{9-x})}{x\,(3+\sqrt{9-x})} = \frac{9-(9-x)}{x\,(3+\sqrt{9-x})} = \frac{x}{x\,(3+\sqrt{9-x})} = \frac{1}{3+\sqrt{9-x}}.

Passo 4

Agora basta tomar x\to0 na forma simplificada:
\lim_{x\to0}\frac{1}{3+\sqrt{9-x}} = \frac{1}{3+\sqrt{9}} = \frac{1}{3+3} = \frac{1}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}

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