Questão 2.
(1.0) Calcule f^{\prime}(x) para f(x)=\sqrt{1+x e^{x}}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\sqrt{1+x e^{x}}
e pede f'(x). Aqui temos uma composição de funções: a raiz quadrada aplicada a
g(x)=1+x e^{x}.
Para resolver, vamos usar a regra da cadeia e, dentro dela, a regra do produto para derivar x e^{x}.

Passo 2

Definimos
g(x)=1+x e^{x}.
Derivando termo a termo, o constante 1 some e, pela regra do produto,
(x e^{x})' = x\,(e^{x}) + e^{x}\,(1) = e^{x}(x+1).
Logo,
g'(x)=e^{x}(x+1).

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia em
f(x) = \bigl(g(x)\bigr)^{\tfrac12}.
A derivada é
f'(x) =\frac12\bigl(g(x)\bigr)^{-\tfrac12}\cdot g'(x) =\frac{e^{x}(x+1)}{2\sqrt{\,g(x)\,}} =\frac{e^{x}(x+1)}{2\sqrt{1+x e^{x}}}.

Resposta

f'(x)=\frac{e^{x}(x+1)}{2\sqrt{1+x e^{x}}}.

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