Questão 2.
(1.0) Calcule f^{\prime}(x) para f(x)=\left(\frac{x^{2}}{x+1}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\biggl(\frac{x^{2}}{x+1}\biggr)^{3}.
O conteúdo necessário envolve a regra da cadeia (para a potência cúbica) e a regra do quociente (para derivar x^{2}/(x+1)).

Passo 2

Definimos a função interna
g(x)=\frac{x^{2}}{x+1}
e aplicamos a regra da cadeia, que diz
f'(x)=3\bigl(g(x)\bigr)^{2}\,g'(x).

Passo 3

Para obter g'(x) usamos a regra do quociente. Tomando u(x)=x^{2} e v(x)=x+1, temos u'(x)=2x e v'(x)=1. Logo,
g'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}} =\frac{2x\,(x+1)-x^{2}\cdot1}{(x+1)^{2}} =\frac{2x^{2}+2x - x^{2}}{(x+1)^{2}} =\frac{x^{2}+2x}{(x+1)^{2}}.

Passo 4

Substituindo g(x) e g'(x) em f'(x)=3\bigl(g(x)\bigr)^{2}g'(x), temos
f'(x) =3\biggl(\frac{x^{2}}{x+1}\biggr)^{2} \cdot\frac{x^{2}+2x}{(x+1)^{2}}.

Passo 5

Agora simplificamos potências e fatores iguais:
\biggl(\frac{x^{2}}{x+1}\biggr)^{2}=\frac{x^{4}}{(x+1)^{2}},
então
f'(x) =3\,\frac{x^{4}}{(x+1)^{2}}\;\frac{x(x+2)}{(x+1)^{2}} =3\,\frac{x^{5}(x+2)}{(x+1)^{4}}.

Resposta

f'(x)=3\,\frac{x^{5}(x+2)}{(x+1)^{4}}.

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