Questão 5. (2.0) Use uma substituição apropriada para calcular a integral definida
\int_{0}^{4} x \sqrt{x^{2}+9} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{4} x \sqrt{x^{2}+9}\,dx
usando uma substituição apropriada. O conteúdo aqui é técnica de substituição em integrais, mais especificamente a substituição u = x^{2}+9, que torna o radical mais simples.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2} + 9.
Diferenciando, obtemos
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.

Passo 3

Agora trocamos os limites de integração. Quando x=0,
u = 0^{2} + 9 = 9.
Quando x=4,
u = 4^{2} + 9 = 25.

Passo 4

Substituindo na integral original, temos
\int_{0}^{4} x \sqrt{x^{2}+9}\,dx = \int_{u=9}^{u=25} \sqrt{u}\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_{9}^{25} u^{\tfrac12}\,du.

Passo 5

Integramos u^{\tfrac12}:
\int u^{\tfrac12}\,du = \frac{u^{\tfrac32}}{\tfrac32} = \frac{2}{3}\,u^{\tfrac32}.
Logo,
\frac{1}{2}\int_{9}^{25} u^{\tfrac12}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\bigl[u^{\tfrac32}\bigr]_{9}^{25} = \frac{1}{3}\Bigl(25^{\tfrac32}-9^{\tfrac32}\Bigr).

Passo 6

Calculamos os termos:
25^{\tfrac32} = (25)^{1}\sqrt{25} = 25\cdot5 = 125, \quad 9^{\tfrac32} = 9\cdot3 = 27.
Portanto,
\frac{1}{3}\bigl(125 - 27\bigr) = \frac{98}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{98}{3}

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