Questão 9. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA COMPARAÇÃO)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2 n^{2}+3 n+5};

Passo 1

O enunciado nos dá a série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n^{2}+3n+5}
e pede para determinar se ela converge ou diverge usando o teste da comparação. Vamos comparar com uma p-série conhecida.

Passo 2

Lembre que a p-série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. Em particular, para p=2 temos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}<\infty.

Passo 3

Para aplicar o teste de comparação direta, note que para todo n\ge1
2n^{2}+3n+5 \;\ge\;2n^{2},
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0<\frac{1}{2n^{2}+3n+5}\;\le\;\frac{1}{2n^{2}} \;=\;\frac{1}{2}\,\frac{1}{n^{2}}.

Passo 4

Como \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} converge, então
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2}\,\frac{1}{n^{2}} =\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
também converge. Pela comparação direta, a série original converge.

Resposta

A série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n^{2}+3n+5}
converge.

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