Questão 3 - Calcule, caso existam, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{3}-8}{|x-2|}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 2} \frac{x^3 - 8}{\lvert x - 2\rvert}
Este tipo de limite com valor absoluto exige que a gente analise os limites laterais, ou seja, para x\to2^- e para x\to2^+, usando factorization do numerador.

Passo 2

Fatoramos o numerador pelo caso conhecido de diferença de cubos:
x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4).

Passo 3

Para x>2 vale \lvert x-2\rvert = x-2. Assim,
\frac{x^3 - 8}{\lvert x-2\rvert} = \frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2} = x^2 + 2x + 4.
Logo,
\lim_{x\to2^+}\frac{x^3 - 8}{\lvert x-2\rvert} = 2^2 + 2\cdot2 + 4 = 4 + 4 + 4 = 12.

Passo 4

Para x<2 vale \lvert x-2\rvert = -(x-2)=2-x. Logo,
\frac{x^3 - 8}{\lvert x-2\rvert} = \frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{2-x} = -(x^2 + 2x + 4).
Portanto,
\lim_{x\to2^-}\frac{x^3 - 8}{\lvert x-2\rvert} = -\bigl(2^2 + 2\cdot2 + 4\bigr) = -(4 + 4 + 4) = -12.

Passo 5

Como
\lim_{x\to2^-}\frac{x^3 - 8}{\lvert x-2\rvert} = -12 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to2^+}\frac{x^3 - 8}{\lvert x-2\rvert} = 12,
os limites laterais são diferentes, portanto o limite bilateral não existe.

Resposta

O limite \displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^3-8}{\lvert x-2\rvert} não existe.

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