Questão 3 - Calcule, caso existam, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(5^{x}-7^{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to\infty}\bigl(5^x - 7^x\bigr).
Aqui o conteúdo é comparação de funções exponenciais: exponencial de base maior cresce muito mais rápido.

Passo 2

Para evidenciar isso, fatoramos 7^x:
5^x - 7^x = 7^x\bigl((5/7)^x - 1\bigr).
Como 0<5/7<1, temos
\lim_{x\to\infty}(5/7)^x = 0,
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\lim_{x\to\infty}\bigl((5/7)^x - 1\bigr) = -1
e simultaneamente \lim_{x\to\infty}7^x = +\infty.

Passo 3

Multiplicando-se algo que tende a +\infty por algo que tende a -1, o produto tende a -\infty. Portanto,
\lim_{x\to\infty}\bigl(5^x - 7^x\bigr) = -\infty.

Resposta

-\infty

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