Questão 3 - Calcule, caso existam, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x^{2}-1}}{\sqrt{5 x^{2}+x}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{\sqrt{5x^{2}+x}}.
O conteúdo aqui é análise de limites envolvendo radicais, e vamos usar o fato de que, para x grande, o termo de maior grau em x domina o comportamento dentro da raiz.

Passo 2

Dentro de cada raiz, vamos fatorar x^{2} (lembrando que, para x suficientemente grande e positivo, \sqrt{x^{2}}=x). Na raiz do numerador:
\sqrt{x^{2}-1} =\sqrt{x^{2}\Bigl(1-\frac{1}{x^{2}}\Bigr)} =x\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}.
Na raiz do denominador:
\sqrt{5x^{2}+x} =\sqrt{x^{2}\Bigl(5+\frac{1}{x}\Bigr)} =x\sqrt{5+\frac{1}{x}}.

Passo 3

Substituindo essas expressões na razão original, temos
\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{\sqrt{5x^{2}+x}} =\frac{x\sqrt{1-\tfrac{1}{x^{2}}}}{x\sqrt{5+\tfrac{1}{x}}} =\frac{\sqrt{1-\tfrac{1}{x^{2}}}}{\sqrt{5+\tfrac{1}{x}}}.

Passo 4

Agora tomamos o limite x\to\infty. Como \tfrac{1}{x^{2}}\to0 e \tfrac{1}{x}\to0, obtemos
\lim_{x\to\infty}\sqrt{1-\tfrac{1}{x^{2}}} =1, \qquad \lim_{x\to\infty}\sqrt{5+\tfrac{1}{x}} =\sqrt{5}.
Logo,
\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1-\tfrac{1}{x^{2}}}}{\sqrt{5+\tfrac{1}{x}}} =\frac{1}{\sqrt{5}}.

Resposta

\frac{1}{\sqrt{5}}.

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