Questão 3 - Calcule, caso existam, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 5} \frac{x-5}{\sqrt{x-1}-2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 5}\frac{x-5}{\sqrt{x-1}-2}.
Aqui estamos diante de um limite que gera uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}, e vamos usar a técnica de racionalização do denominador para resolvê-la.

Passo 2

Primeiro, tentamos a substituição direta x=5:
numerador =5-5=0,
denominador \sqrt{5-1}-2=\sqrt{4}-2=2-2=0.
Logo obtemos \tfrac{0}{0}, que é uma forma indeterminada.

Passo 3

Para eliminar a indeterminação, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador, \sqrt{x-1}+2:
\frac{x-5}{\sqrt{x-1}-2}\,\cdot\,\frac{\sqrt{x-1}+2}{\sqrt{x-1}+2} =\frac{(x-5)\,(\sqrt{x-1}+2)}{(\sqrt{x-1}-2)(\sqrt{x-1}+2)} =\frac{(x-5)\,(\sqrt{x-1}+2)}{(x-1)-4} =\frac{(x-5)\,(\sqrt{x-1}+2)}{x-5}.

Passo 4

Para x\neq 5, cancela-se o fator (x-5) e a expressão fica equivalente a \sqrt{x-1}+2.
Agora o limite deixa de ser indeterminado e basta substituir x=5:
\lim_{x\to5}(\sqrt{x-1}+2) =\sqrt{5-1}+2 =\sqrt{4}+2 =2+2 =4.

Resposta

4

Exercícios relacionados