Questão 3 - Calcule, caso existam, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{4}{x}\right)^{x+2}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\lim_{x\to\infty}\bigl(1+\tfrac{4}{x}\bigr)^{x+2}.
Esse limite é do tipo exponencial e se relaciona ao resultado fundamental \lim_{u\to\infty}\bigl(1+\tfrac{a}{u}\bigr)^{u}=e^{a}. Para usar esse fato, vamos reescrever a expressão de forma conveniente.

Passo 2

Reescrevendo a potência, temos
\bigl(1+\tfrac{4}{x}\bigr)^{x+2} =\bigl(1+\tfrac{4}{x}\bigr)^{x}\cdot\bigl(1+\tfrac{4}{x}\bigr)^{2}.

Passo 3

Aplicando o limite clássico e avaliando o fator quadrático:
\lim_{x\to\infty}\bigl(1+\tfrac{4}{x}\bigr)^{x}=e^{4}, \qquad \lim_{x\to\infty}\bigl(1+\tfrac{4}{x}\bigr)^{2}=1.

Passo 4

Como o limite do produto é o produto dos limites (quando ambos existem), concluímos
\lim_{x\to\infty}\bigl(1+\tfrac{4}{x}\bigr)^{x+2} =e^{4}\cdot1 =e^{4}.

Resposta

e^{4}

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