Questão 4 - Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Se verdadeira, dê uma demonstração. Se falsa, dê um contra-exemplo.
|f(x)-5| \leq 2|x-1|, \forall x \in \mathbb{R}, então \lim _{x \rightarrow p} f(x)=0;

Passo 1

O enunciado afirma que, se uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} satisfaz
|f(x)-5|\le2\,|x-1|\quad\forall x\in\mathbb{R},
então seria verdade que
\lim_{x\to p}f(x)=0
para todo p. O conteúdo aqui é análise de limites e construção de contra-exemplo quando a afirmação é falsa.

Passo 2

Definimos a função constante
f(x)=5,\quad\forall x\in\mathbb{R}.
Então para todo x vale
|f(x)-5|=|5-5|=0\le2\,|x-1|,
logo a hipótese do enunciado é satisfeita. Mas
\lim_{x\to p}f(x)=\lim_{x\to p}5=5\neq0,
portanto a conclusão \lim_{x\to p}f(x)=0 falha.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é f(x)=5, que satisfaz |f(x)-5|\le2|x-1| mas tem \lim_{x\to p}f(x)=5.

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