Questão 3. Calcule o comprimento de arco das funções no intervalo dado:
f(x)=1+6 x^{3 / 2}, onde 0 \leq x \leq 1

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva definida por
f(x) = 1 + 6\,x^{3/2},
no intervalo 0 \le x \le 1. O conteúdo envolvido é a fórmula de comprimento de arco de uma função y=f(x), que diz
L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\;dx.
Vamos usar essa fórmula, computar f'(x), montar a integral e calculá-la.

Passo 2

Calculamos a derivada de
f(x) = 1 + 6\,x^{3/2}.
Como \tfrac{d}{dx}\bigl(x^{3/2}\bigr)=\tfrac{3}{2}\,x^{1/2}, temos
f'(x) = 6 \times \frac{3}{2}\,x^{1/2} = 9\,x^{1/2}.
Logo, dentro da raiz da fórmula de comprimento surge
1 + \bigl(f'(x)\bigr)^{2} = 1 + \bigl(9\,x^{1/2}\bigr)^{2} = 1 + 81\,x.

Passo 3

Substituindo na integral de comprimento de arco, obtemos
L = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + 81\,x}\;dx.
Para resolver, fazemos a substituição linear
u = 1 + 81\,x,\quad du = 81\,dx,\quad dx = \frac{du}{81}.
Quando x=0, u=1. Quando x=1, u=82.

Passo 4

A integral fica
L = \int_{u=1}^{u=82} \sqrt{u}\,\frac{du}{81} = \frac{1}{81} \int_{1}^{82} u^{1/2}\,du.
Aplicando a primitiva de u^{1/2}, que é \tfrac{2}{3}\,u^{3/2}, temos
L = \frac{1}{81} \left[\frac{2}{3}\,u^{3/2}\right]_{1}^{82} = \frac{2}{243}\,\bigl[(82)^{3/2} - 1^{3/2}\bigr].

Passo 5

Observando que 82^{3/2}=82\sqrt{82}, simplificamos a resposta para
L = \frac{2}{243}\,\bigl(82\sqrt{82} - 1\bigr) = \frac{164\sqrt{82} - 2}{243}.

Resposta

L = \frac{2}{243}\,\bigl(82\sqrt{82} - 1\bigr).

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