Resolva a equação diferencial a seguir, pelo método das equações diferenciais exatas.
y^{\prime}=\frac{-\left(y+2 x y^{3}\right)}{\left(1+3 x^{2} y^{2}+x\right)}

Passo 1

A equação diferencial dada é
y'=\frac{-(y+2xy^3)}{1+3x^2y^2+x}.
O conteúdo aqui é equação exata. Para resolver, vamos:
  1. reescrever na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0,
  2. verificar a condição de exatidão \partial M/\partial y=\partial N/\partial x,
  3. construir a função potencial F(x,y) tal que dF=M\,dx+N\,dy,
  4. obter a solução implícita F(x,y)=C.

Passo 2

Multiplicando ambos os lados por \bigl(1+3x^2y^2+x\bigr)\,dx e trazendo tudo para um só lado, fica
\bigl(y+2xy^3\bigr)\,dx+\bigl(1+3x^2y^2+x\bigr)\,dy=0.
Logo definimos
M(x,y)=y+2xy^3, \quad N(x,y)=1+3x^2y^2+x.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y+2xy^3\bigr) =1+6xy^2,
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(1+3x^2y^2+x\bigr) =1+6xy^2.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 4

Existe F(x,y) tal que
\frac{\partial F}{\partial x}=M(x,y)=y+2xy^3.
Integrando em x:
F(x,y)=\int\bigl(y+2xy^3\bigr)\,dx =xy+x^2y^3+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 5

Impondo \partial F/\partial y=N(x,y), temos
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(xy+x^2y^3+h(y)\bigr) =x+3x^2y^2+h'(y) \stackrel!=1+3x^2y^2+x.
Isso leva a h'(y)=1, logo h(y)=y (absorvendo constante em C).

Passo 6

Portanto a função potencial é
F(x,y)=xy+x^2y^3+y
e a solução geral implícita fica
xy+x^2y^3+y=C,
com C constante arbitrária.

Resposta

A solução geral é
xy+x^2y^3+y=C.

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