Resolva a equação diferencial a seguir, pelo método das equações diferenciais exatas.
Passo 1
A equação diferencial dada é
O conteúdo aqui é equação exata. Para resolver, vamos:
- reescrever na forma
, - verificar a condição de exatidão
, - construir a função potencial
tal que , - obter a solução implícita
.
Passo 2
Multiplicando ambos os lados por
e trazendo tudo para um só lado, fica
Logo definimos
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Existe
tal que
Integrando em
:
onde
é uma função a determinar.
Passo 5
Impondo
, temos
Isso leva a
, logo
(absorvendo constante em
).
Passo 6
Portanto a função potencial é
e a solução geral implícita fica
com
constante arbitrária.
Resposta
A solução geral é