Verifique que as funções abaixo são integraveis e calcule a sua integral:
f(x)=x^{2}-4 x+3 em \quad[1 ; 5]

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar que a função f(x)=x^{2}-4x+3 é integrável em [1,5] e, em seguida, calcular a integral definida
\int_{1}^{5}f(x)\,dx.
Como f é um polinômio, ela é contínua em [1,5] e, portanto, pelo Teorema de Riemann, é integrável nesse intervalo. Usaremos o Teorema Fundamental do Cálculo para obter o valor da integral.

Passo 2

Para aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, precisamos encontrar uma primitiva F(x) de f(x). Integramos termo a termo:
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}, \qquad \int(-4x)\,dx=-2x^{2}, \qquad \int3\,dx=3x.
Logo, uma primitiva é
F(x)=\frac{x^{3}}{3}-2x^{2}+3x.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental,
\int_{1}^{5}f(x)\,dx = F(5)-F(1).
Calculando:
F(5)=\frac{5^{3}}{3}-2\cdot5^{2}+3\cdot5=\frac{125}{3}-50+15=\frac{125}{3}-35=\frac{20}{3},
F(1)=\frac{1^{3}}{3}-2\cdot1^{2}+3\cdot1=\frac{1}{3}-2+3=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}.
Portanto,
\int_{1}^{5}f(x)\,dx = \frac{20}{3}-\frac{4}{3}=\frac{16}{3}.

Resposta

\int_{1}^{5}(x^{2}-4x+3)\,dx = \frac{16}{3}.

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