Resolva a equação diferencial dada por y^{\prime}=-\frac{x^{2}(y+1)}{y^{2}(x-1)}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y' = -\frac{x^{2}(y+1)}{y^{2}(x-1)}.
Este é um caso de equação de variáveis separáveis. Vamos, portanto,
  1. separar y de um lado e x do outro,
  2. integrar cada lado usando divisão de polinômios para simplificar os quocientes,
  3. obter a solução geral implícita.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x^{2}(y+1)}{y^{2}(x-1)}.
Isolando y e x:
\frac{y^{2}}{y+1}\,dy = -\frac{x^{2}}{x-1}\,dx.

Passo 3

Para integrar, primeiro fazemos a divisão de polinômios em cada integrando:
\frac{y^{2}}{y+1} = y - 1 + \frac{1}{y+1}, \qquad \frac{x^{2}}{x-1} = x + 1 + \frac{1}{x-1}.
Então
\int \frac{y^{2}}{y+1}\,dy = \int \Bigl(y - 1 + \frac{1}{y+1}\Bigr)\,dy, \qquad \int \frac{x^{2}}{x-1}\,dx = \int \Bigl(x + 1 + \frac{1}{x-1}\Bigr)\,dx.

Passo 4

Calculamos as duas integrais:
\int \frac{y^{2}}{y+1}\,dy = \int y\,dy - \int 1\,dy + \int \frac{1}{y+1}\,dy = \frac{y^{2}}{2} - y + \ln\lvert y+1\rvert,
\int \frac{x^{2}}{x-1}\,dx = \int x\,dx + \int 1\,dx + \int \frac{1}{x-1}\,dx = \frac{x^{2}}{2} + x + \ln\lvert x-1\rvert.
Como tínhamos um sinal menos no lado direito, obtemos
\frac{y^{2}}{2} - y + \ln\lvert y+1\rvert = -\Bigl(\frac{x^{2}}{2} + x + \ln\lvert x-1\rvert\Bigr) + C.

Passo 5

Reorganizando em forma implícita padrão e absorvendo constantes,
\frac{y^{2}}{2} - y + \ln\lvert y+1\rvert + \frac{x^{2}}{2} + x + \ln\lvert x-1\rvert = C.
Multiplicando tudo por 2 e renomeando a constante,
y^{2} - 2y + x^{2} + 2x + 2\ln\lvert y+1\rvert + 2\ln\lvert x-1\rvert = K.

Resposta

A solução geral implícita é, por exemplo,
\frac{y^{2}}{2} - y + \ln\lvert y+1\rvert + \frac{x^{2}}{2} + x + \ln\lvert x-1\rvert = C,
onde C é constante arbitrária.

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