Questão 2. Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas x y=1, x=1 / 3, y=1 e y=3 em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região limitada por \,xy=1, \,x=\tfrac{1}{3}, \,y=1 e \,y=3.
Como o eixo de rotação é horizontal ( x–eixo), vamos usar o método das cascas cilíndricas tomadas em função de y.

Passo 2

Para um valor fixo de y entre 1 e 3, a região vai de
x_{\text{esquerda}} = \tfrac{1}{3} \quad\text{até}\quad x_{\text{direita}} = \frac{1}{y},é
pois a curva xy=1 x=1/y.

Passo 3

Em cascas cilíndricas horizontais, cada “casca” tem
  • raio =y,
  • altura =x_{\text{direita}}-x_{\text{esquerda}}=\frac{1}{y}-\frac{1}{3},
  • espessura dy.
Logo o volume é
V \;=\; 2\pi \int_{y=1}^{3} \bigl(\text{raio}\bigr)\,\bigl(\text{altura}\bigr)\,dy \;=\; 2\pi \int_{1}^{3} y\!\Bigl(\tfrac{1}{y}-\tfrac{1}{3}\Bigr)\,dy.

Passo 4

Simplificando o integrando:
y\Bigl(\tfrac{1}{y}-\tfrac{1}{3}\Bigr) =1-\tfrac{y}{3}.
Portanto
V = 2\pi \int_{1}^{3}\Bigl(1-\tfrac{y}{3}\Bigr)\,dy.

Passo 5

Calculemos a integral:
\int_{1}^{3}\Bigl(1-\tfrac{y}{3}\Bigr)\,dy =\Bigl[y-\tfrac{y^{2}}{6}\Bigr]_{1}^{3} =\bigl(3-\tfrac{9}{6}\bigr)-\bigl(1-\tfrac{1}{6}\bigr) = \tfrac{2}{3}.
Assim
V = 2\pi\cdot \tfrac{2}{3} = \tfrac{4\pi}{3}.

Resposta

V = \frac{4\pi}{3}.

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