Questão 2. Determine todas as soluções da equação \left(z^{2}-9\right)\left(z^{3}-27\right)=0.

Passo 1

O enunciado pede para achar todas as raízes da equação
\bigl(z^{2}-9\bigr)\,\bigl(z^{3}-27\bigr)=0.
Isso significa resolver as duas equações polinomiais \,z^{2}-9=0 e \,z^{3}-27=0. Vamos usar álgebra elementar para a primeira e a fórmula de De Moivre para a segunda.

Passo 2

Resolvendo
z^{2}-9=0
temos
z^{2}=9=3^{2},
logo as soluções são
z=3 \quad\text{e}\quad z=-3.

Passo 3

Agora resolvemos
z^{3}-27=0
ou seja
z^{3}=27=3^{3}.
Em forma polar, 27=3^{3}e^{i\cdot0}, e as raízes são dadas por
z=3\,e^{i\frac{2\pi k}{3}}, \qquad k=0,1,2.

Passo 4

Para k=0 vem
z=3\,e^{i\cdot0}=3.
Para k=1 vem
z=3\,e^{i\frac{2\pi}{3}} =3\Bigl(-\tfrac12+\tfrac{\sqrt3}{2}i\Bigr) =-\tfrac32+ \tfrac{3\sqrt3}{2}\,i.
Para k=2 vem
z=3\,e^{i\frac{4\pi}{3}} =3\Bigl(-\tfrac12-\tfrac{\sqrt3}{2}i\Bigr) =-\tfrac32- \tfrac{3\sqrt3}{2}\,i.

Resposta

As soluções distintas são
z=3,\quad z=-3,\quad z=-\tfrac32+ \tfrac{3\sqrt3}{2}\,i, \quad z=-\tfrac32- \tfrac{3\sqrt3}{2}\,i.

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