Questão 3. Determine a transformada de laplace de
f(t)=t e^{-3 t}-e^{-2 t}+2, t \geq 0

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)=t e^{-3t}-e^{-2t}+2,\quad t\ge0.
Vamos usar a linearidade da transformada e as fórmulas básicas:
  1. \mathcal{L}\{t^n e^{at}\}(s)=\frac{n!}{(s-a)^{n+1}}.
  2. \mathcal{L}\{e^{at}\}(s)=\frac{1}{s-a}.
  3. \mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s}.

Passo 2

Calcular \mathcal{L}\{t e^{-3t}\}(s). Aqui n=1 e a=-3, então
\mathcal{L}\{t e^{-3t}\}(s) =\frac{1!}{\bigl(s-(-3)\bigr)^{1+1}} =\frac{1}{(s+3)^2}.

Passo 3

Calcular \mathcal{L}\{-e^{-2t}\}(s). Como \mathcal{L}\{e^{-2t}\}(s)=1/(s+2), temos
\mathcal{L}\{-e^{-2t}\}(s) =-\frac{1}{s+2}.

Passo 4

Calcular \mathcal{L}\{2\}(s). Como a transformada de 1 é 1/s, por linearidade
\mathcal{L}\{2\}(s)=2\cdot\frac{1}{s}=\frac{2}{s}.

Passo 5

Somando todas as parcelas pela linearidade, obtemos
F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s) =\frac{1}{(s+3)^2} -\frac{1}{s+2} +\frac{2}{s}.

Resposta

F(s)=\frac{1}{(s+3)^2}-\frac{1}{s+2}+\frac{2}{s}.

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