Questão 3.(2.0) Calcule a derivada direcional partial fpartial v(p) onde
f(x, y)=x yx^2+y^2, p=(1,1), v=(35, 45)

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=x,yx^2+y^2
em p=(1,1) na direção do vetor unitário
v=l(tfrac35,tfrac45r)
Para isso, vamos usar que, se f é diferenciável,
partial fpartial v(p)=nabla f(p)cdot v,
onde nabla f=(partialxf,partialyf).

Passo 2

Aplicamos a regra do quociente para achar as derivadas parciais. Seja D=x^2+y^2 e N=xy. Então
partialxf =partialx(N),D - N,partialx(D)D^2 =y,(x^2+y^2)-xycdot2x(x^2+y^2)^2 =y^3 - x^2y(x^2+y^2)^2 =y,(y^2 - x^2)(x^2+y^2)^2,
partialyf =partialy(N),D - N,partialy(D)D^2 =x,(x^2+y^2)-xycdot2y(x^2+y^2)^2 =x^3 - x,y^2(x^2+y^2)^2 =x,(x^2 - y^2)(x^2+y^2)^2

Passo 3

Agora avaliamos nabla f em p=(1,1). Como x^2+y^2=2 e y^2-x^2=0 em (1,1), temos
partialxf(1,1) =1,(1^2-1^2)2^2=0, partialyf(1,1) =1,(1^2-1^2)2^2=0,
logo nabla f(1,1)=(0,0).

Passo 4

Finalmente
partial fpartial v(1,1) =nabla f(1,1)cdot v =(0,0)cdotl(tfrac35,tfrac45r) =0

Resposta

0

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