Questão 2: (1,0) Calcule a derivada direcional de f(x, y)=x^{2} y+\sqrt{1+y} no ponto (1,2) na direção de 3 \vec{i}+2 \vec{j}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=x^{2}y+\sqrt{1+y}
no ponto (1,2) na direção do vetor \vec v=3\vec i+2\vec j.
Para isso, vamos calcular o gradiente de f, normalizar \vec v e, em seguida, fazer o produto escalar.

Passo 2

Primeiro obtemos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2xy, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x^{2}+\frac{1}{2\sqrt{1+y}}.
Avaliando em (1,2):
\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)=2\cdot1\cdot2=4, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(1,2)=1^{2}+\frac{1}{2\sqrt{3}} =1+\frac{1}{2\sqrt{3}}.

Passo 3

Calculamos a norma de \vec v:
\|\vec v\|=\sqrt{3^{2}+2^{2}}=\sqrt{13}.
O versor na direção de \vec v é
\vec u=\frac{\vec v}{\|\vec v\|} =\frac{1}{\sqrt{13}}\bigl(3,2\bigr).

Passo 4

A derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente e o versor:
D_{\vec u}f(1,2) =\nabla f(1,2)\cdot\vec u =\frac{1}{\sqrt{13}}\Bigl(4\cdot3+\bigl(1+\tfrac{1}{2\sqrt{3}}\bigr)\cdot2\Bigr).
Isso dá
D_{\vec u}f(1,2) =\frac{12+2+\frac{2}{2\sqrt{3}}}{\sqrt{13}} =\frac{14+\frac{1}{\sqrt{3}}}{\sqrt{13}} =\frac{14\sqrt{3}+1}{\sqrt{39}}.

Resposta

\frac{14\sqrt{3}+1}{\sqrt{39}}

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