Questão 3: Seja
:
a)
Determine os pontos críticos de
.
b)
Classifique os pontos críticos encontrados em pontos de máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
a)
b)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede (a) os pontos críticos, onde
, e (b) a classificação de cada ponto (máximo local, mínimo local ou ponto de sela), usando o critério da matriz Hessiana.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
Para pontos críticos precisamos de
Passo 3
Resolvendo
dá
ou
.
Resolvendo dá
ou
.
Logo os pontos críticos são ,
,
,
,
e
.
Resolvendo
Logo os pontos críticos são
Passo 4
Para classificar, achamos as segundas derivadas:
Definimos o discriminante da Hessiana em cada ponto:
Passo 5
Aplicamos o critério:
- Se
e , é mínimo local. - Se
e , é máximo local. - Se
, é ponto de sela.
Passo 6
Calculamos em cada ponto:
Para
:
→ ponto de sela.
Para
:
e
→ máximo local.
Para
:
e
→ mínimo local.
Para
:
→ ponto de sela.
Resposta
Os pontos críticos e suas classificações são:
: ponto de sela
: máximo local
e
: mínimos locais
e
: pontos de sela