Questão 3: Seja f(x, y)=3 x^{2}-2 x^{3}-4 y^{2}+2 y^{4} :
a) (0,5) Determine os pontos críticos de f(x, y).
b) (1,0) Classifique os pontos críticos encontrados em pontos de máximo local, mínimo local ou ponto de sela.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=3x^{2}-2x^{3}-4y^{2}+2y^{4}
e pede (a) os pontos críticos, onde \nabla f=0, e (b) a classificação de cada ponto (máximo local, mínimo local ou ponto de sela), usando o critério da matriz Hessiana.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
\frac{\partial f}{\partial x} =6x-6x^{2} =6x(1-x),
\frac{\partial f}{\partial y} =-8y+8y^{3} =8y(y^{2}-1).
Para pontos críticos precisamos de
6x(1-x)=0,\quad 8y(y^{2}-1)=0.

Passo 3

Resolvendo 6x(1-x)=0 x=0 ou x=1.
Resolvendo 8y(y^{2}-1)=0 y=0 ou y=\pm1.
Logo os pontos críticos são (0,0), (0,1), (0,-1), (1,0), (1,1) e (1,-1).

Passo 4

Para classificar, achamos as segundas derivadas:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} =6-12x,\quad \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} =-8+24y^{2},\quad \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} =0.
Definimos o discriminante da Hessiana em cada ponto:
D = f_{xx}\,f_{yy} - (f_{xy})^{2} = (6-12x)(-8+24y^{2}).

Passo 5

Aplicamos o critério:
  • Se D>0 e f_{xx}>0, é mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0, é máximo local.
  • Se D<0, é ponto de sela.

Passo 6

Calculamos em cada ponto:
Para (0,0):
f_{xx}=6,\quad f_{yy}=-8,\quad D=6\cdot(-8)=-48<0
→ ponto de sela.
Para (1,0):
f_{xx}=6-12=-6,\quad f_{yy}=-8,\quad D=(-6)\cdot(-8)=48>0
e f_{xx}<0 → máximo local.
Para (0,\pm1):
f_{xx}=6,\quad f_{yy}=-8+24=16,\quad D=6\cdot16=96>0
e f_{xx}>0 → mínimo local.
Para (1,\pm1):
f_{xx}=-6,\quad f_{yy}=16,\quad D=(-6)\cdot16=-96<0
→ ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos e suas classificações são: (0,0): ponto de sela (1,0): máximo local (0,1) e (0,-1): mínimos locais (1,1) e (1,-1): pontos de sela

Exercícios relacionados