Questão 1: Seja f(x, y)=\sqrt{\ln \left(\frac{y+x^{2}}{x^{2}-y^{2}}\right)} :
a) (1,0) Determine analiticamente e geometricamente o domínio de f(x, y).
b) (0,5) Calcule \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y).

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)=\sqrt{\ln\!\Bigl(\frac{y+x^{2}}{x^{2}-y^{2}}\Bigr)}
e pede:
  • (a) o domínio analítico e geométrico de f;
  • (b) o limite \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y).
O conteúdo é determinação de domínio em \mathbb{R}^2 envolvendo logaritmo e raiz quadrada, e cálculo de limite em várias variáveis.

Passo 2

Para que f(x,y) esteja definido, precisamos que dentro da raiz tenhamos argumento não-negativo e o logaritmo definido. Ou seja:
  1. O logaritmo existe se
\frac{y+x^{2}}{x^{2}-y^{2}}>0,
  1. A raiz exige
\ln\!\Bigl(\frac{y+x^{2}}{x^{2}-y^{2}}\Bigr)\ge0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{y+x^{2}}{x^{2}-y^{2}}\ge1.
Além disso, x^{2}-y^{2}\neq0 (denominador não nulo).
Portanto o domínio é
D=\Bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2-y^2\neq0,\;\frac{y+x^{2}}{x^{2}-y^{2}}\ge1\Bigr\}.

Passo 3

Reescrevemos a desigualdade \frac{y+x^{2}}{x^{2}-y^{2}}\ge1.
\frac{y+x^{2}}{x^{2}-y^{2}}-1\ge0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{y+x^2-(x^2-y^2)}{x^2-y^2}\ge0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{y+y^2}{\,x^2-y^2\,}\ge0.
Como y+y^2=y(1+y) e x^2-y^2=(x-y)(x+y), a condição é
\frac{y(1+y)}{(x-y)(x+y)}\ge0, \quad x^2\neq y^2.
Os pontos críticos são as curvas y=0, y=-1, y=x e y=-x. Fazendo o estudo de sinais, concluímos que a fração é não-negativa exatamente em três grandes regiões (além dos pontos onde o numerador é zero, pois aí a expressão vale zero e atende \ge0):
  1. Região A: y\ge0 e x^2>y^2 (fora dos ramos y=\pm x).
  2. Região B: y\le -1 e x^2>y^2.
  3. Região C: -1\le y\le0 e x^2<y^2.
Em y=0 (exceto x=0) e em y=-1 (exceto x=\pm1) temos valor exato 1 no argumento do log, logo f=0.

Passo 4

Geometricamente, o domínio é a união de
  • dois “cones” abertos fora das retas y=\pm x: um acima do eixo x ( y\ge0) e um abaixo de y=-1, em que |x|>|y|;
  • mais uma “fatia” entre as retas y=\pm x no faixa vertical -1\le y\le0, em que |x|<|y|.
Esses três pedaços, juntos com as duas linhas y=0 ( x\neq0) e y=-1 ( x\neq\pm1), formam o domínio de f.

Passo 5

Para o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) devemos verificar se, ao chegar em (0,0) por diferentes caminhos dentro do domínio, o valor de f tende ao mesmo número.
  • Pela reta y=0, x\neq0, temos
f(x,0)=\sqrt{\ln\!\Bigl(\frac{0+x^2}{x^2-0}\Bigr)} =\sqrt{\ln(1)}=0.
  • Pelo caminho y=x^2 (para x pequeno, y>0 e |x|>|y|),
f\bigl(x,x^2\bigr) =\sqrt{\ln\!\Bigl(\frac{x^2+x^2}{x^2-x^4}\Bigr)} =\sqrt{\ln\!\Bigl(\frac{2}{1-x^2}\Bigr)} \;\xrightarrow[x\to0]{}\;\sqrt{\ln2}\neq0.
Como já surgem dois valores diferentes ( 0 e \sqrt{\ln2}), o limite não existe.

Resposta

a) O domínio é
D=\{(x,y)\mid x^2-y^2\neq0,\;\tfrac{y+x^{2}}{x^{2}-y^{2}}\ge1\},
que se decompõe geometricamente em três regiões:
  1. y\ge0 e |x|>|y|,
  2. y\le-1 e |x|>|y|,
  3. -1\le y\le0 e |x|<|y|,
    junto com as linhas y=0 ( x\neq0) e y=-1 ( x\neq\pm1), onde f=0.
b) \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) não existe.

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