Questão 1: Seja f(x, y)=\sqrt{\ln \left(\frac{y+x^{2}}{x^{2}-y^{2}}\right)} :
a) (1,0) Determine analiticamente e geometricamente o domínio de f(x, y).
b) (0,5) Calcule \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y).
Como y+y^2=y(1+y) e x^2-y^2=(x-y)(x+y), a condição é
\frac{y(1+y)}{(x-y)(x+y)}\ge0, \quad x^2\neq y^2.
Os pontos críticos são as curvas y=0, y=-1, y=x e y=-x. Fazendo o estudo de sinais, concluímos que a fração é não-negativa exatamente em três grandes regiões (além dos pontos onde o numerador é zero, pois aí a expressão vale zero e atende \ge0):
Região A: y\ge0 e x^2>y^2 (fora dos ramos y=\pm x).
Região B: y\le -1 e x^2>y^2.
Região C: -1\le y\le0 e x^2<y^2.
Em y=0 (exceto x=0) e em y=-1 (exceto x=\pm1) temos valor exato 1 no argumento do log, logo f=0.
Passo 4
Geometricamente, o domínio é a união de
dois “cones” abertos fora das retas y=\pm x: um acima do eixo x (y\ge0) e um abaixo de y=-1, em que |x|>|y|;
mais uma “fatia” entre as retas y=\pm x no faixa vertical -1\le y\le0, em que |x|<|y|.
Esses três pedaços, juntos com as duas linhas y=0 (x\neq0) e y=-1 (x\neq\pm1), formam o domínio de f.
Passo 5
Para o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) devemos verificar se, ao chegar em (0,0) por diferentes caminhos dentro do domínio, o valor de f tende ao mesmo número.