Questão 5: Seja f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} a função definida por
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{2 x^{3}+2 y^{3}}{2 x^{2}+2 y^{2}} ; & (x, y) \neq(0,0) \\\ 2 ; & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.
(1,0) Determine os pontos onde f(x, y) é contínua.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{2x^3+2y^3}{2x^2+2y^2}\;,&(x,y)\neq(0,0),\\[1em] 2\;,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede onde f é contínua. O conteúdo aqui é análise de continuidade de função definida por partes, envolvendo quociente de polinômios e o ponto em que o denominador zera.]

Passo 2

Para (x,y)\neq(0,0) temos 2x^2+2y^2\neq0, logo
f(x,y)=\frac{2x^3+2y^3}{2x^2+2y^2}
é quociente de funções polinomiais com denominador não nulo. Polinômios são contínuos e o quociente também, portanto f é contínua em todo ponto com (x,y)\neq(0,0).

Passo 3

No ponto (0,0) precisamos ver se
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)
existe e se coincide com f(0,0)=2. Note que, para (x,y)\neq(0,0),
f(x,y) =\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}
e, usando r=\sqrt{x^2+y^2}, temos
\bigl|f(x,y)\bigr| =\frac{|x^3|+|y^3|}{x^2+y^2} \le\frac{r^3+r^3}{r^2} =2r \longrightarrow0 \quad\text{quando }r\to0.
Logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0\neq2=f(0,0),
ou seja, há descontinuidade em (0,0).

Resposta

f é contínua em todos os pontos de \mathbb{R}^2 exceto em (0,0).

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