Questão 6: Calcule a derivada de f(x)=\frac{\operatorname{sen} x}{e^{x}}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=\frac{\operatorname{sen}x}{e^{x}}.
O conteúdo envolvido é derivação de quociente (ou, de forma equivalente, derivação de produto aplicando-se e^{-x}). Vamos precisar da regra do produto e da derivada de funções elementares:
  • \frac{d}{dx}\bigl(\sin x\bigr)=\cos x,
  • \frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}\bigr)=-e^{-x}.

Passo 2

Reescrevemos f(x) como produto, tirando e^{x} do denominador:
f(x)=\sin x\cdot e^{-x}.

Passo 3

Aplicamos a regra do produto, que diz
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)v(x)\bigr)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Aqui u(x)=\sin x e v(x)=e^{-x}. Então
u'(x)=\cos x, \quad v'(x)=-e^{-x},
e
f'(x)=\cos x\cdot e^{-x} \;+\;\sin x\cdot\bigl(-e^{-x}\bigr).

Passo 4

Fatoramos e^{-x} em evidência:
f'(x) =e^{-x}\,\bigl(\cos x - \sin x\bigr).

Resposta

f'(x)=e^{-x}\bigl(\cos x - \sin x\bigr).

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