Questão 4: Use a regra da Cadeia para calcular a derivada de f(x)=\operatorname{sen}\left(\cos \left(e^{x}\right)\right).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\operatorname{sen}\bigl(\cos\bigl(e^{x}\bigr)\bigr).
O conteúdo é derivação de funções compostas, usando a regra da cadeia em várias camadas.

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, identificamos as três funções internas:
u(x)=e^{x},\quad v(u)=\cos(u),\quad w(v)=\operatorname{sen}(v),
de modo que f(x)=w\bigl(v\bigl(u(x)\bigr)\bigr).

Passo 3

A regra da cadeia em cascata diz que
f'(x)=w'(v)\cdot v'(u)\cdot u'(x).

Passo 4

Agora calculamos cada derivada:
- w(v)=\operatorname{sen}(v) implica
w'(v)=\cos(v).
- v(u)=\cos(u) implica
v'(u)=-\operatorname{sen}(u).
- u(x)=e^{x} implica
u'(x)=e^{x}.

Passo 5

Substituindo em
f'(x)=\cos\bigl(v\bigr)\,\bigl(-\operatorname{sen}(u)\bigr)\,e^{x}
e voltando às expressões de u e v, obtemos
f'(x)=-e^{x}\,\operatorname{sen}\bigl(e^{x}\bigr)\,\cos\bigl(\cos(e^{x})\bigr).

Resposta

f'(x)=-e^{x}\,\operatorname{sen}\bigl(e^{x}\bigr)\,\cos\bigl(\cos(e^{x})\bigr).

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